Question

如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E，F(xiàn)為垂足，△AEF的高線AN，F(xiàn)M相交于點H，設(shè)EF=a，AH=b（a＞b），求?ABCD的對角線AC的長．

Answer 1

解：作CG⊥AD于G，得矩形AECG，AC=EG．
連接EH，F(xiàn)G，
∵H是△AEF的兩條高線交點，
∴EH⊥AF，又∵AF⊥CF，
∴EH∥CF；
∵FH⊥AE，CE⊥AE，∴FH∥CE，
四邊形ECFH是平行四邊形．
于是，EC=HF，EC∥HF，
但EC=AG，EC∥AG，∴AG=HF，AG∥HF，
∴四邊形AHFG是平行四邊形，GF=AH=b．
又∵AH⊥EF，AH∥GF，∴GF⊥EF，
∴EG²=EF²+GF²=a²+b²，
∴．
分析：作CG⊥AD于G，得矩形AECG，AC=EG．連接EH，F(xiàn)G，即可求證四邊形ECFH是平行四邊形，進(jìn)而求證四邊形AHFG是平行四邊形，GF=AH=b，進(jìn)而求證GF⊥EF，根據(jù)勾股定理即可解題．
點評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，平行四邊形的判定，平行四邊形對邊相等且平行的性質(zhì)，本題中求證GF⊥EF是解題的關(guān)鍵．