Question

（2006•煙臺(tái)）（1）如圖1，正方形ABCD中，E，F(xiàn)，GH分別為四條邊上的點(diǎn)，并且AE=BF=CG=DH．求證：四邊形EFGH為正方形．
（2）如圖2，有一塊邊長1米的正方形鋼板，被裁去長為米、寬為米的矩形兩角，現(xiàn)要將剩余部分重新裁成一正方形，使其四個(gè)頂點(diǎn)在原鋼板邊緣上，且P點(diǎn)在裁下的正方形一邊上，問如何剪裁使得該正方形面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意易得：△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，故四邊形EFGH是菱形；又有∠4=90°，故四邊形EFGH是正方形；
（2）先根據(jù)題意設(shè)原正方形為ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且AH=x；根據(jù)平行線的性質(zhì)，得；解得x的值，分別求出面積并比較大小可得答案．
解答：（1）證明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（2分）
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2，（3分）
∴四邊形EFGH是菱形，（4分）
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠4=90°，
∴四邊形EFGH是正方形；（5分）

（2）解：如圖，設(shè)原正方形為ABCD，正方形EFGH是要裁下的正方形，且EH過點(diǎn)P．
設(shè)AH=x，則AE=1-x．
∵M(jìn)P∥AH，
∴，（6分）
整理得12x²-11x+2=0，
解得，（7分）
當(dāng)時(shí)，S_{正方形EFGH}=，
當(dāng)時(shí)，S_{正方形EFGH}=，
∴當(dāng)BE=DG=米，BF=DH=米時(shí)，裁下正方形面積最大，面積為米²．（9分）
點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．