Question

如圖，射線CE∥射線BF，射線AB∥射線CD，且AB=AC，將∠EAB繞點A順時針旋轉，∠EAB的兩邊分別交射線BF于點P，交射線CD于點Q．

（1）畫出旋轉后的圖形；
（2）猜想線段AP、AQ的數(shù)量關系：

 

；
（3）繼續(xù)繞點A旋轉∠EAB，使其兩邊分別交FB的延長線于點P，交射線CD于點Q，探索（2）中的結論是否還成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：作圖-旋轉變換,平行線的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)將∠EAB繞點A順時針旋轉，∠EAB的兩邊分別交射線BF于點P，交射線CD于點Q，得出∠EAB=∠PAQ即可；
（2）根據(jù)已知首先證明四邊形ACMB是平行四邊形，進而得出四邊形ABMC是菱形，由△ACQ∽△NMQ，得出QN•a=MN•AQ，由△NQM∽△NAB，得出QN•a=QM•AN，則MN•AQ=QM•AN，即

MN

AN

=

QM

AQ

；又由△NQM∽△NPA，得出

QM

AP

=

MN

AN

，進而得出AP=AQ；
（3）利用已知可得△ACQ∽△NMQ，△NQM∽△NAB，△NQM∽△NPA，進而根據(jù)相似三角形的性質得出對應邊關系，進而得出AP=AQ．

解答：解：（1）如圖所示：∠PAQ即為所求；

（2）AP=AQ．理由如下：
如圖所示，延長PB，分別交AQ與CD于N、M點，則∠1+∠2=∠EAB，
∵∠PAQ=∠EAB，且∠2+∠3=∠PAQ，
∴∠3=∠1．
∵AB∥CD，
∴∠AQM=∠3=∠1，∠EAB=∠C．
∵BF∥EA，
∴∠APB=∠1，∠PMQ=∠C=∠EAB，
∴∠EAB=∠C=∠PAQ=∠PMQ，∠1=∠3=∠APB=∠AQM．
∵AB∥CD，AC∥BM，
∴四邊形ACMB是平行四邊形，
又∵AB=AC，
∴四邊形ABMC是菱形．
設AB=AC=CM=BM=a．
∵MN∥AC，
∴△ACQ∽△NMQ，
∴

QN

AQ

=

NM

AC

=

MN

a

，
∴QN•a=MN•AQ ①，
∵AB∥CD，
∴△NQM∽△NAB，
∴

QN

AN

=

QM

AB

=

QM

a

，
∴QN•a=QM•AN ②，
比較①與②，得MN•AQ=QM•AN，
∴

MN

AN

=

QM

AQ

；
∵∠NQM=∠NPA，∠QNM=∠PNA，
∴△NQM∽△NPA，
∴

MN

AN

=

QM

AP

，
∴

QM

AP

=

QM

AQ

，
∴AP=AQ．
故答案為AP=AQ；

（3）（2）中的結論還成立，理由如下：
如圖所示，設FB交CD于M，F(xiàn)B交AQ于N．
∵AC∥FN，
∴∠CAQ=∠N，
又∵∠AQC=∠NQM，
∴△ACQ∽△NMQ，
∴

QN

AQ

=

NM

AC

=

MN

a

，
∴QN•a=MN•AQ，
∵AB∥CD，
∴△NQM∽△NAB，
∴

QN

AN

=

QM

AB

=

QM

a

，
∴QN•a=QM•AN，
∴MN•AQ=QM•AN，
∴

MN

AN

=

QM

AQ

；
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠C，
∵∠PAQ=∠EAB，
∴∠C=∠PAQ，
∵AC∥BN，
∴∠QMN=∠C，
∴∠PAQ=∠QMN，
又∵∠N=∠N，
∴△NQM∽△NPA，
∴

MN

AN

=

QM

AP

，
∴

QM

AP

=

QM

AQ

，
∴AP=AQ．

點評：本題考查了作圖-旋轉變換，菱形的判定，相似三角形的判定與性質，有一定難度．