Question

如圖，P是射線y=

3

5

x（x＞0）上的一動點(diǎn)，以P為圓心的圓與y軸相切于C點(diǎn)，與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若⊙P的半徑為5，則P點(diǎn)坐標(biāo)是

 

；A點(diǎn)坐標(biāo)是

 

；以P為頂點(diǎn)，且經(jīng)過A點(diǎn)的拋物線的解析式是

 

；
（2）在（1）的條件下，上述拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D，請說明理由；
（3）試問：是否存在這樣的直線l，當(dāng)P在運(yùn)動過程中，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線l上？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如果圓的半徑為5，那么P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，可根據(jù)直線O的解析式求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，連接PA，過P作PQ⊥BA于M，那么PQ=OC，由此在直角三角形OPQ中，根據(jù)圓的半徑和P點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出AM的長，即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式設(shè)拋物線的解析式來設(shè)拋物線的，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入其中即可求出拋物線的解析式．
（2）由題意可知：D點(diǎn)必在y軸上，因此可根據(jù)（1）的拋物線的解析式求出其與y軸的交點(diǎn)，即可判斷出D點(diǎn)是否在拋物線上．
（3）可仿照（1）的解題過程進(jìn)行求解．可先根據(jù)直線OP的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)仿照（1）的方法求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這個頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出所求的直線解析式．

解答：解：（1）P（5，3）；
A（1，0）；
y=-

3

16

（x-5）²+3．

（2）C點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-3），
∵拋物線y=-

3

16

(x-5)2+3與y軸的交點(diǎn)（0，-

27

16

），
∴D點(diǎn)不在拋物線y=-

3

16

（x-5）²+3上．

（3）設(shè)P（m，n），m＞0，則n=

3

5

m，
過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，則AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=

3

5

m，
∴AQ=

4

5

m，
∴A（

1

5

m，0)，B（

9

5

m，0），C（0，

3

5

m），
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-

1

5

m）（x-

9

5

m），
將C（0，

3m

5

）代入解析式，
得a=

5

3m

，
∴y=

5

3m

（x-

1

5

m）（x-

9

5

m）
=

5

3m

（x²-2mx+

9

25

m²）
=

5

3m

[（x-m）²-

16

15

m²]
∴y=

5

3m

（x-m）²-

16

15

m
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-

16

15

m）
∴存在直線l：y=-

16

15

x，
當(dāng)P在射線y=

3

5

x上運(yùn)動時，過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線上．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、垂徑定理、切線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．