已知:如圖,在平面直角坐標系中,四邊形ABCO是菱形,且∠AOC=60°,點B的坐標是(0,8),點P從點C開始以每秒1個單位長度的速度在線段CB上向點B移動,同時,點Q從點O開始以每秒a(1≤a≤3)個單位長度的速度沿射線OA方向移動設t(0<t≤8)秒后,直線PQ交OB于點D.
(1)求∠AOB的度數(shù)及線段OA的長;
(2)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的解析式;
(3)當a=3,OD=時,求t的值及此時直線PQ的解析式;
(4)當a為何值時,以O,Q,D為頂點的三角形與△OAB相似?當a為何值時,以O,Q,D為頂點的三角形與△OAB不相似?請給出你的結論,并加以證明.

【答案】分析:(1)已知了∠AOC的度數(shù),根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出∠AOB=30°,連接AC交BO于M,在直角三角形OAM中,OM=OB,可根據(jù)OM的長和∠AOM的度數(shù)即可求出OA的長.
(2)同(1)在直角三角形OAM中可求出AM和OM的長,即可得出A點的坐標.根據(jù)菱形的對稱性,可知A、C關于y軸對稱,由此可得出C點的坐標,可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)當a=3時,OQ=3t,BP=t,已知了OD的長,可求出BD的長,然后根據(jù)相似三角形BPD和OQD得出的關于BM,OM,BP,OQ的比例關系式,可求出t的值.即可按(2)的方法求出Q的坐標,用待定系數(shù)法可得出直線DQ的解析式.
(4)本題要分情況討論:
①當△ODQ∽△OBA時,PQ∥AB,四邊形AQPB是平行四邊形,因此BP=AQ,可據(jù)此求出a的值.
②當△ODQ∽△OAB時,∠ODQ=∠OAB.分兩種情況:
一:當P、B不重合時;二:當P、B重合時.
方法一樣,和(3)類似,先根據(jù)相似三角形BPD和OQD求出OD的值,然后根據(jù)相似三角形OQD和OBA求出a的值.然后進行判斷即可.
解答:解:(1)因為四邊形ABCO是菱形,∠AOC=60°,
所以∠AOB=30°.
連接AC交OB于M,則OM=OB,AM⊥OB
所以AM=tan30°×OM=4.
所以,OA=AM÷sin30°=8,

(2)由(1)可知A(4,4),B(0,8),C(-4,4
設經(jīng)過A、B、C三點的拋物線為y=ax2+c
所以16a+c=4,c=8
∴a=-
所以經(jīng)過A、B、C三點的拋物線為y=-x2+8

(3)當a=3時,CP=t,OQ=3t,OD=
所以PB=8-t,BD=8-=
由△OQD∽△BPD得

,
所以t=
當t=時,OQ=
同理可求Q(
設直線PQ的解析式為y=kx+b,則
k+b=,b=
所以k=-
所以直線PQ的解析式為y=-x+

(4)當a=1時,△ODQ∽△OBA;
當1<a<3時,以O、Q、D為頂點的三角形與△OAB不能相似;
當a=1時,△ODQ∽△OBA.
理由如下:
①若△ODQ∽△OBA,可得∠ODQ=∠OBA,此時PQ∥AB.
故四邊形PCOQ為平行四邊形,
所以CP=OQ
即at=t(0<t≤8).
所以a=1時,△ODQ∽△OBA
②若△ODQ∽△OAB
(I)如果P點不與B點重合,此時必有△PBD∽△QOD
所以
所以,即=;
所以OD=
因為△ODQ∽△OAB,
所以=
∴a=1+
∵0<t≤8,
∴a>3,不符合題意.即a>3時,以O、Q、D為頂點的三角形與△ABO不能相似;

(II)當P與B重合時,此時D點也與B點重合.
可知此時t=8.
由△ODQ∽△OAB得
所以OB2=OA×OQ.
即(82=8×8a
所以a=3符合題意.
故當a=1時△ODQ∽△OAB.
點評:本題是點的運動性問題,考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點,綜合性強,難度較高.
練習冊系列答案
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3
2
x+b
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16
x
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(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個圓柱形桶時,乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當豎直擺放圓柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
個時,乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫出滿足條件的一個答案)

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已知,如圖1,在平面直角坐標系內(nèi),直線l1:y=-x+4與坐標軸分別相交于點A、B,與直線l2y=
13
x
相交于點C.
(1)求點C的坐標;
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點E,交直線l2于點D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點M,交直線l2于點N,若MN=2ED,求a的值;
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(1)求出點C的坐標;
(2)在這一運動過程中, 四邊形OPEM是什么四邊形?請說明理由。若
用y表示四邊形OPEM的面積 ,直接寫出y關于t的函數(shù)關系式及t的
范圍;并求出當四邊形OPEM的面積y的最大值?
(3)在整個運動過程中,是否存在某個t值,使⊿MPB為等腰三角形?
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(2)如果豎直擺放5個圓柱形桶時,乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
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