Question

13．如圖所示，AB=CF=15cm，等腰Rt△ABC以3m/s的速度沿直線向正方形GDEF移動(dòng)，直到AB與DE重合時(shí)才停止（開始C與G重合），設(shè)x s時(shí)，等腰Rt△ABC與正方形GDEF重疊部分的面積為y m²．
（1）幾秒后，線段AB與GF重合？幾秒后，線段AB與DE重合？
（2）寫出y與x的關(guān)系表達(dá)式；
（3）當(dāng)重疊面積是正方形面積的$\frac{1}{3}$時(shí)，三角形移動(dòng)了多長時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時(shí)間=$\frac{路程}{速度}$即可求得．
（2）按照x的取值范圍分為當(dāng)0≤x＜5時(shí)，當(dāng)5≤x≤10時(shí)，分段根據(jù)重合部分的圖形求面積；
（3）根據(jù)（2）的分段函數(shù)，分別令y=$\frac{1}{3}$×15×15，列方程求x的值，再根據(jù)x的取值范圍進(jìn)行取舍．

解答 解：（1）∵BC=15，BD=BC+CD=30，$\frac{15}{3}$=5，$\frac{30}{3}=10$，
∴5秒后，線段AB與GF重合，10秒后線段AB與DE重合．
（2）①0＜x＜5時(shí)，如圖1，由題意GC=MG=3t，y=$\frac{1}{2}•3x•3x$=$\frac{9}{2}$x²，
5≤x≤10時(shí)，如圖2，由題意CD=DM=3x-15，BD=BC-CD=15-（3x-15）=30-3x，
y=$\frac{1}{2}$（3x-15+15）•（30-3x）=-$\frac{9}{2}$x²+45x．
（3）由題意$\frac{9}{2}$x²=$\frac{1}{3}$×15×15，解得x=$±\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
∵x＞O，
∴x=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
或-$\frac{9}{2}$x²+45x=$\frac{1}{3}$×15×15，
解得到x=$\frac{15+5\sqrt{3}}{3}$或（$\frac{15-5\sqrt{3}}{3}$舍棄），
∴當(dāng)重疊面積是正方形面積的$\frac{1}{3}$時(shí)，三角形移動(dòng)了$\frac{5\sqrt{6}}{3}$s或$\frac{15+5\sqrt{3}}{3}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式、正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖形的特點(diǎn)，分段求函數(shù)關(guān)系式．