Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．設P，Q分別為BD，BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C作勻速移動，移動的速度均為1cm/s，設P，Q移動的時間為t（0＜t≤4）．
（1）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？
（2）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）此題由3種情況，①從假設△BPQ是等腰三角形入手．求證△BMP∽△BCD，利用對應邊成比例即可求得t的值．
②在Rt△BMP中，利用cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

，解得t．
③如圖，當BQ=PQ時，自點Q向BD引垂線，垂足為N．利用Rt△BNQ∽Rt△BCD其對應邊成比例即可求得t．
（2）若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ．由②，知當BQ=BP時，t=

5

2

．由①，知當BP=PQ時，t=

40

13

．而BQ=BP與BP=PQ不能同時成

解答：解：
（1）若△BPQ是等腰三角形．
①如圖，當PB=PQ時，自點P向BC引垂線，
垂足為M，則有BM=MQ．
方法一：
由△BMP∽△BCD，得

BM

BC

=

BP

BD

，
∴BM=

BP•BC

BD

=

(5-t)•4

5

=

20-4t

5

．
∴

20-4t

5

=

t

2

，解得t=

40

13

．
方法二：
在Rt△BMP中，
BP=5-t，BM=

t

2

，cos∠DBC=

BM

BP

=

BC

BD

=

4

5

．
∴

t 2

5-t

=

4

5

，解得t=

40

13

．
②當BQ=BP時，有t=5-t，解得t=

5

2

．
③如圖，當BQ=PQ時，自點Q向BD引垂線，垂足為N．
由Rt△BNQ∽Rt△BCD，得

BN

BC

=

BQ

BD

．
∴

5-t 2

4

=

t

5

，解得t=

25

13

．

（2）不能．
若△PBQ為等邊三角形，則BQ=BP=PQ．
由（2）②，知當BQ=BP時，t=

5

2

．
由（2）①，知當BP=PQ時，t=

40

13

．
∴BQ=BP與BP=PQ不能同時成立，
∴△PBQ不可能為等邊三角形．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強，是一道難題．