Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點B是該半圓周上一動點，連接OB、AB，并延長AB至點D，使DB=AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連接CF．
（1）當(dāng)∠AOB=30°時，求弧AB的長度；
（2）當(dāng)DE=8時，求線段EF的長；
（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根據(jù)弧長公式求解；
（2）連接OD，由垂直平分線的性質(zhì)得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依題意證明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
（3）存在．當(dāng)以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似時，分為①當(dāng)交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時，要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三種情況，分別求E點坐標(biāo)．
解答：解：（1）連接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的長=；（4分）

（2）①若D在第一象限，
連接OD，
∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE==，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴，即，
∴EF=3；（4分）
②若D在第二象限，
連接OD，
∵OA是⊙C直徑，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分線，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE==，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴，即=，
∴EF=12；
∴EF=3或12；

（3）設(shè)OE=x，
①當(dāng)交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角
形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
當(dāng)∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC
中點，即OE=，
∴E₁（，0）；
當(dāng)∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=，
∵△ECF∽△EAD，
∴，即，解得：，
∴E₂（，0）；

②當(dāng)交點E在點C的右側(cè)時，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
連接BE，
∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴，
而AD=2BE，
∴，
即，解得，＜0（舍去），
∴E₃（，0）；

③當(dāng)交點E在點O的左側(cè)時，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
連接BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴，
而AD=2BE，
∴，
∴，
解得x₁=，x₂=，
∵點E在x軸負半軸上，
∴E₄（，0），
綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，
此時點E坐標(biāo)為：E₁（，0）、E₂（，0）、E₃（，0）、E₄（，0）．（4分）
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用，圓周角定理，弧長公式的運用．關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)基本條件，圖形的性質(zhì)，分類求解．