Question

（本小題滿分14分）

如圖①，已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CB的延長線上，且BE=BF，連接EF．

1.（1）若取AE的中點(diǎn)P，求證：BP=CF；

2.（2）在圖①中，若將繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0⁰<<360⁰），如圖②，是否存在某位置，使得？，若存在，求出所有可能的旋轉(zhuǎn)角的大小；若不存在，請(qǐng)說明理由；

3.（3）在圖①中，若將△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0⁰<<90⁰），如圖③，取AE的中點(diǎn)P，連接BP、CF，求證：BP=CF且BP⊥CF．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）∵ AE = BE，AP = EP

∴ BE = 2PE，AB = 4PE，BP = 3PE…………（1分）

∵ AB = BC，BE = BF      ∴ BC = 4PE，BF = 2PE

∴ CF = 6PE…………（2分）        ∴

2.（2）存在…………（４分）

因?yàn)閷?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/2012062207182000084017/SYS201206220719545789348997_DA.files/image002.png">繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，E、F分別在以點(diǎn)B為圓心，BE為半徑的圓周上，如圖1，因此過Ａ點(diǎn)做圓Ｂ的切線，設(shè)切點(diǎn)是點(diǎn)Ｅ，此時(shí)，有AE∥BF。

當(dāng)圓Ｂ的切線ＡＥ在ＡＢ的右側(cè)時(shí)，如圖1

∵ AE∥BF∴ ∠AEB = ∠EBF = 90°      ∵ BE = AB∴ ∠BAE = 30°

∴ ∠ABE = 60°，即旋轉(zhuǎn)角是60°…………（6分）

當(dāng)圓Ｂ的切線ＡＥ在ＡＢ的左側(cè)時(shí)，如圖2

如圖2，∵ AE∥BF

∴ ∠AEB + ∠EBF = 180°∴ ∠AEB = 90°

∵ BE = AB      ∴ ∠BAE = 30°

∴ ∠ABE = 60°，即旋轉(zhuǎn)角是300°

3.（3）延長BP到點(diǎn)G，使BP=PG，連結(jié)AG

∴ △APG ≌ △BPE

∴ AG = BE，PG = BP，∠G = ∠PBE

∵ BE = BF　　　∴ AG = BF

∵ △BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)   ∴ ∠ABE = ，∠CBF = 180°－

∵ ∠G = ∠PBE　　　　∴ ∠G + ∠ABP =

∴ ∠GAB = 180°－　　　∴ ∠GAB = ∠CBF

又∵ AB = BC，AG = BF

∴ △GAB ≌ △FBC　　　　∴ BG = CF

∵ 　　　　∴ …………（11分）

延長PB，與CF相交于點(diǎn)H

∵ △GAB ≌ △FBC　　　　∴ ∠ABP = ∠BCH

∵ ∠ABP + ∠CBH = 90°　　　∴ ∠BCH + ∠CBH =90°

∴ BH⊥CF　　　　即 BP⊥CF…………（14分）

【解析】略