Question

如圖，正△EFG內(nèi)接于正方形ABCD，其中E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，若

AE

EB

=2，則

BG

BC

=

 

．

Answer 1

分析：如圖所示，作出輔助線，可知三角形ABK是等邊三角形，設(shè)出正方形的邊長，解直角三角形求出BG．再計算比值．

解答：解：如圖，作EK⊥FG，K是FG的中點，連AK、KB，易知E、K、G、B和E、K、F、A分別四點共圓
∴∠KBE=∠EGK=60°，∠EAK=∠EFK=60°．
∴三角形ABK是等邊三角形
作KM⊥AB，M是AB的中點，設(shè)AB=6
則EB=

1

3

AB=2，MB=3，ME=1，MK=6sin60°=3

3

∴EK=

ME2+MK2

=2

7

；
EG=

EK

sin60°

=

4 21

3

；
BG=  

EG2-BE2

 =

10 3

3

．
故

BG

BC

=

5 3

9

．
故答案為

5 3

9

．

點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角函數(shù)等知識．
難度很大，有利于培養(yǎng)同學們鉆研和探索問題的精神．