【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,A=30°,以AB為直徑的⊙OBC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連結(jié)DE,過(guò)點(diǎn)BBP平行于DE,交⊙O于點(diǎn)P,連結(jié)EP、CP、OP.

(1)BD=DC嗎?說(shuō)明理由;

(2)求∠BOP的度數(shù);

(3)求證:CP是⊙O的切線.

【答案】(1)BD=DC;理由見(jiàn)解析;(2)90°;(3)證明見(jiàn)解析;

【解析】

1)連接AD,由圓周角定理可知∠ADB=90°,再由AB=AC可知ABC是等腰三角形,故BD=DC;
(2)由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線,所以∠BAD=CAD,故=,進(jìn)而可得出BD=DE,故BD=DE=DC,所以∠DEC=DCE,ABC中由等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ABC=75°,故∠DEC=75°由三角形內(nèi)角和定理得出∠EDC的度數(shù),再根據(jù)BPDE可知∠PBC=EDC=30°,進(jìn)而得出∠ABP的度數(shù),再由OB=OP,可知∠OBP=OPB,由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOP=90°;
(3)設(shè)OPAC于點(diǎn)G,由∠BOP=90°可知∠AOG=90°RtAOG中,由∠OAG=30°,可知=,由于==,所以=,=,再根據(jù)∠AGO=CGP可得出AOG∽△CPG,由相似三角形形的性質(zhì)可知∠GPC=AOG=90°,故可得出CP O的切線.

解:(1)BD=DC.理由如下:連接AD,

AB是直徑,

∴∠ADB=90°,

ADBC,

AB=AC,

BD=DC;

(2)AD是等腰ABC底邊上的中線,

∴∠BAD=CAD,

=,

BD=DE.

BD=DE=DC,

∴∠DEC=DCE,

ABC中,AB=AC,A=30°,

∴∠DCE=ABC=(180°﹣30°)=75°,

∴∠DEC=75°,

∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°,

BPDE,

∴∠PBC=EDC=30°,

∴∠ABP=ABC﹣PBC=75°﹣30°=45°,

OB=OP,

∴∠OBP=OPB=45°,

∴∠BOP=90°;

(3)設(shè)OPAC于點(diǎn)G,如圖,則∠AOG=BOP=90°,

RtAOG中,∠OAG=30°,

=,

又∵==,

=,

=,

又∵∠AGO=CGP,

∴△AOG∽△CPG,

∴∠GPC=AOG=90°,

OPPC,

CP是⊙O的切線;

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)如圖①,求OD的長(zhǎng)及的值;

(Ⅱ)如圖②,正方形AOCD固定,將正方形BEFG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得正方形BE′F′G′,記旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<360°),連接AG′.

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠BAG′=90°時(shí),求α的大;

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求AF′的長(zhǎng)取最大值時(shí),點(diǎn)F′的坐標(biāo)及此時(shí)α的大。ㄖ苯訉(xiě)出結(jié)果即可).

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【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB90°,BC2,∠A30°,點(diǎn)E,F分別是線段BC,AC的中點(diǎn),連結(jié)EF

1)線段BEAF的位置關(guān)系是   ,   

2)如圖2,當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)(0°<a180°),連結(jié)AF,BE,(1)中的結(jié)論是否仍然成立.如果成立,請(qǐng)證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)如圖3,當(dāng)△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)(0°<a180°),延長(zhǎng)FCAB于點(diǎn)D,如果AD62,求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

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【題目】如圖①、圖②,方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn),圖①和圖②中的點(diǎn)A、點(diǎn)B都是格點(diǎn).分別在圖①、圖②中畫(huà)出格點(diǎn)C,并滿(mǎn)足下面的條件:

1)在圖①中,使∠ABC90°.此時(shí)AC的長(zhǎng)度是

2)在圖②中,使ABAC.此時(shí)ABC的邊AB上的高是

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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上的一點(diǎn),CF切半圓O于點(diǎn)C,BD⊥CF于為點(diǎn)D,BD與半圓O交于點(diǎn)E.

(1)求證:BC平分∠ABD.

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A. yax2+bx+c B. yx(x1)

C. y= D. y(x1)2x2

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1)出發(fā)2秒后,求PQ的長(zhǎng);

2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)幾秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形?

3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

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