(北師大版)已知:將一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如圖1擺放,點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上,且D是AB的中點(diǎn).將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線DE、AC相交于點(diǎn)M,直線DF、BC相交于點(diǎn)N,分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線,垂足為G、H.
(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
(2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并說明理由;
(3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說明理由.

【答案】分析:(1)由題意易證出AG=AD,DH=DB,而AD=DB,可得AG=DH;
(2)可由證△AMD≌△DNB,再證△AMG≌△DNH,證出AG=DH;
(3)可證Rt△AGM∽R(shí)t△NHB,Rt△DGM∽R(shí)t△NHD,證出AG=DH.
解答:解:(1)∵α=30°,
∴∠ADM=30°,
∵∠A=30°,
∴∠ADM=∠A.
∴AM=DM.
又∵M(jìn)G⊥AD于G,
∴AG=AD.
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°,∠B=60°,
∴△CDB是等邊三角形.
又∵CH⊥DB于H,
∴DH=DB.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=AB.
∵BC=BD,
∴AD=DB.
∴AG=DH.

(2)結(jié)論成立.理由如下:
在△AMD與△DNB中,∠A=∠NDB=30°,AD=DB,∠MDA=∠B=60°,
∴△AMD≌△DNB,
∴AM=DN.
又∵在△AMG與△DNH中,∠A=∠NDB,∠MGA=∠NHD=90°,
∴△AMG≌△DNH.
∴AG=DH.

(3)方法一:解:結(jié)論成立.
Rt△AGM∽R(shí)t△NHB,Rt△DGM∽R(shí)t△NHD.
∵∠C=∠MDN=90°
∴C,D兩點(diǎn)在以MN為直徑的圓上,
∴C,M,D,N四點(diǎn)共圓
∴∠DNM=∠DCA=30°,
∴DN=DM
又∵△DGM∽△NHD,
∴DH=MG=AG.
方法二:
解:當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論成立.
在Rt△AMG中,∠A=30°,
∴∠AMG=60°=∠B.
又∠AGM=∠NHB=90°,
∴△AGM∽△NHB.

∵∠MDG=α,
∴∠DMG=90°-α=∠NDH.
又∠MGD=∠DHN=90°,
∴Rt△MGD∽R(shí)t△DHN.
=
①×②,得.=
由比例的性質(zhì),得 =
∵AD=DB,
∴AG=DH.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn),直角三角形的性質(zhì),三角形全等的判定,三角形相似的判定及性質(zhì)的靈活運(yùn)用.此題用同學(xué)們常用的一副三角板作為情境,培養(yǎng)同學(xué)們靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.
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(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
(2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并說明理由;
(3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說明理由.
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(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
(2)當(dāng)α=60°時(shí)(如圖3),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并說明理由;
(3)當(dāng)0°<α<90°時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)寫出你的結(jié)論,并根據(jù)圖④說明理由.

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(1)當(dāng)α=30°時(shí)(如圖2),求證:AG=DH;
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