如圖1,已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合),PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥CD于點(diǎn)F.
(1)試說明:BP=DP;
(2)如圖2,若正方形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP?若是,請給予證明;若不是,請畫圖用反例加以說明;
(3)試選取正方形ABCD的兩個頂點(diǎn),分別與正方形PECF的兩個頂點(diǎn)連接,使得到的兩條線段在正方形PECF繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等,并證明你的結(jié)論;
(4)旋轉(zhuǎn)的過程中AP和DF的長度是否相等?若不等,直接寫出AP:DF=______
【答案】分析:(1)求簡單的相等,可證線段所在的三角形全等,即證△ADP≌△ABP即可.
(2)顯然BP、PD不會總是相等,例如:當(dāng)P不在直線AC上時,連接AP,顯然∠BAP≠∠DAP,那么△BAP、△DAP不全等,因此BP、PD不會相等.
(3)此題較簡單,例如選線段DF、BE,當(dāng)P位于直線AC上時,顯然兩者相等;若P不位于直線AC上時,可通過證△BCE≌△DCF來證得所求的結(jié)論.
(4)AP、DF顯然不相等,圖2中,連接AP,證△APC∽△DFC即可.
(5)連接BD,由于BD是定值,那么△PBD面積的大小與P到直線BD的距離有關(guān);因此當(dāng)△BPD得面積最小或最大時,點(diǎn)P都位于直線AC上,可據(jù)此求解.
解答:解:(1)證明:如圖1;
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°;
又∵AP=AP,
∴△BAP≌△DAP,
∴BP=PD.

(2)BP、PD不會總相等;理由如下:
如圖2,連接AP;
當(dāng)P不在直線AC上時,∠BAP≠∠DAP,
∴△BAP與△DAP不全等,故BP≠PD.

(3)選連接DF、BE;
證明:①當(dāng)P在線段AC上時,由于CF=CE,BC=CD;
則DF=BE=BC-CE=CD-CF;
②當(dāng)P不在直線AC上時,連接BE、DF;
∵BC=CD、CF=CE、∠BCE=∠DCF(旋轉(zhuǎn)角),
∴△DCF≌△BCE,即BE=DF;
③當(dāng)P在線段AC的延長線上時,證法同①;
綜上可知:連接DF、BE,則DF、BE的長總相等.

(4)連接AP、PC;
∵四邊形ABCD、四邊形CFPE都是正方形,
;
又∵∠ACP=∠DCF=45°-∠ACF,
∴△ACP∽△DCF,得:AP:DF=:1.

(5)連接BD,由于BD是定值,而P到直線BD的距離隨正方形FPEC的旋轉(zhuǎn)而改變,因此△PBD的面積不是定值;
①如圖①,當(dāng)P在線段AC上時,P到直線BD的距離最小,此時△PBD的面積最。
易知:OC=2,PC=,則OP=OC-PC=;
∴△PBD的面積:Smin=×BD×OP=×4×=4;
②如圖②,當(dāng)P在線段AC的延長線上時,P到直線BD的距離最大,此時△PBD的面積最大
易知此時:OP=OC+CP=3;
∴△PBD的面積:Smax=×BD×OP=×4×3=12.
綜上可知:△PBD的面積存在最大和最小值;
且最大值為12,最小值為4.
點(diǎn)評:此題主要考查了正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變化、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積的計算方法等知識的綜合應(yīng)用能力,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知直線y=2x(即直線l1)和直線y=-
12
x+4(即直線l2),l2與x軸相交于點(diǎn)A.點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā),向x軸的正方向作勻速運(yùn)動,速度為每秒1個單位,同時點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā),向x軸的負(fù)方向作勻速運(yùn)動,速度為每秒2個單位.設(shè)運(yùn)動了t秒.
(1)求這時點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)(用t表示).
(2)過點(diǎn)P、Q分別作x軸的垂線,與l1、l2分別相交于點(diǎn)O1、O2(如圖1).以O(shè)1為圓心、O1P為半徑的圓與以O(shè)2為圓心、O2Q為半徑的圓能否相切?若能精英家教網(wǎng),求出t值;若不能,說明理由.(同學(xué)可在圖2中畫草圖)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖1,已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3;拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E(4,0)
(1)當(dāng)x取何值時,該拋物線取最大值?該拋物線的最大值是多少?
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動.設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=
114
時,判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說明理由;
②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5?若有可能,求出此時N點(diǎn)的坐標(biāo);若無可能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•淮濱縣模擬)如圖1,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E,頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4);矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式;
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動,設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N(如圖2所示).
①當(dāng)t=2秒時,判斷點(diǎn)P是否在直線ME上,并說明理由;
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

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(2012•湖州)如圖1,已知菱形ABCD的邊長為2
3
,點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,點(diǎn)B在坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-
3
,3),拋物線y=ax2+b(a≠0)經(jīng)過AB、CD兩邊的中點(diǎn).
(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式;
(2)將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移(如圖2),過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F,連接DF、AF.設(shè)菱形ABCD平移的時間為t秒(0<t<
3

①是否存在這樣的t,使△ADF與△DEF相似?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;
②連接FC,以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心,將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°,得△FE′C′,當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中(包括邊界)時,求t的取值范圍.(寫出答案即可)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖l,已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)D,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4).直角三角形ABC的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合,AC,AB分別在x軸,y軸上,且AC=3,AB=4.
(1)直線BC的解析式為
y=
4
3
x+4
y=
4
3
x+4
;
(2)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(3)將直角三角形ABC以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動,設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒(0≤t≤2),AB邊與該拋物線的交點(diǎn)為Q(如圖2所示).
①設(shè)△CPQ的面積為S,試問S是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
②直接寫出直線BC與拋物線有唯一的公共點(diǎn)時t的值.

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