Question

如圖,P是⊙O的直徑AB延長線上一點,點C在⊙O上,AC=PC，∠ACP=120°．

（1）求證：CP是⊙O的切線；
（2）若AB=4cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）陰影部分的面積=2﹣．

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形中等邊對等角即可求得∠OCP的度數(shù)，即可證得；
（2）利用扇形的面積公式，以及陰影部分的面積=S_△OCP﹣S_扇形OCB即可求解．
試題解析：（1）連接OC．

∵∠ACP=120°，AC=PC，
∴∠A=∠P==30°，
∴∠COP=2∠A=60°，
在△OCP中，∠OCP=180°﹣60°﹣30°=90°．
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切線；
（2）AB=4cm，
則OC=AB=2cm，
∵直角△OCP中，∠P=30°，
∴OP=2OC=4，
∴CP=2，
∴S_△OCP=OC•CP=×2×2=2（cm²），
S_扇形OCB=（cm²），
則陰影部分的面積=2﹣（cm²）．