Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且x₁、x₂（x₁＜x₂）是方程（x+1）（x-3）=0的兩個(gè)根．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．求DE長(zhǎng)的最大值；
（3）試探究當(dāng)DE取最大值時(shí)，在拋物線x軸下方是否存在點(diǎn)P，使以D、F、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）DE的長(zhǎng)實(shí)際是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于DE的長(zhǎng)和F點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求出DE的最大值．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果可確定出F，D的坐標(biāo)，要使以D，F(xiàn)，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，必須滿(mǎn)足的條件是MP∥=BF，那么只需將D點(diǎn)的坐標(biāo)向左或向右平移BF長(zhǎng)個(gè)單位即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將得出的P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的P點(diǎn)．
解答：解：（1）如圖，∵x₁、x₂（x₁＜x₂）是方程（x+1）（x-3）=0的兩個(gè)根，
∴x₁=-1，x₂=3．
∵在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，
∴A（-1，0）、B（3，0），
把它們代入拋物線解析式，得
，
解得，
拋物線的解析式是：y=x²-2x-3．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（3，0）．
綜上所述，拋物線的解析式是y=x²-2x-3，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，-3）；

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3），則易求直線BC的解析式是：y=x-3．
故設(shè)D（x，x-3）（0≤x≤3），則E（x，x²-2x-3）
∴DE=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-）²+；
∴當(dāng)x=時(shí)，DE的最大值為．

（3）答：不存在．
由（2）知DE取最大值時(shí)，DE=，E（，-），D（，-）
∴DF=，BF=OB-OF=．
設(shè)在拋物線x軸下方存在點(diǎn)P，使以D，F(xiàn)，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
則BP∥DF，BF∥PD．
∴P₁（0，-）或P₂（3，-）
當(dāng)P₁（0，-）時(shí)，由（1）知y=x²-2x-3=-3≠-，
∴P₁不在拋物線上．
當(dāng)P₂（3，-）時(shí)，由（1）知y=x²-2x-3=0≠-，
∴P₂不在拋物線上．
綜上所述：拋物線x軸下方不存在點(diǎn)P，使以D，F(xiàn)，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．（2）中弄清線段DE長(zhǎng)度的函數(shù)意義是解題的關(guān)鍵．