Question

（2012•甘孜州）如圖，兩個半圓外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上，并都與直線y=x相切．若半圓O₁的半徑為1，則半圓O₂的半徑R=

3+2

2

．

Answer 1

分析：作O₁A⊥直線y=x于A，作O₂B⊥直線y=x于B，O₁C⊥O₂B于C，則O₁C∥直線y=x，所以∠CO₁O₂=∠AOO₁，由于直線y=x平分∠xoy，即∠AOO₁=45°，得到∠CO₁O₂=45°，判斷△CO₁O₂為等腰直角三角形，然后根據切線的性質和兩圓相切的性質得O₁A=1，O₂B=R，O₁O₂=R+1，再根據等腰直角三角形的性質得到O₁O₂=

2

O₂C，即R+1=

2

（R-1），最后解關于R的方程即可．

解答：解：作O₁A⊥直線y=x于A，作O₂B⊥直線y=x于B，O₁C⊥O₂B于C，如圖，
則O₁C∥直線y=x，
∴∠CO₁O₂=∠AOO₁，
∵直線y=x平分∠xoy，
∴∠AOO₁=45°，
∴∠CO₁O₂=45°，
∴△CO₁O₂為等腰直角三角形，
∵⊙O₁和⊙O₂與直線y=x相切，
∴O₁A=1，O₂B=R，
∴BC=1，O₂C=R-1，
而⊙O₁和⊙O₂外切，
∴O₁O₂=R+1，
∴O₁O₂=

2

O₂C，即R+1=

2

（R-1），
∴R=3+2

2

．
故答案為3+2

2

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質和兩圓相切的性質以及第一象限的角平分線的解析式；會運用等腰直角三角形的性質進行計算．