Question

（2012•南開區(qū)二模）如圖1，點(diǎn)C、B分別為拋物線C₁：y₁=x²+1，拋物線C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點(diǎn)．分別過點(diǎn)B、C作x軸的平行線，交拋物線C₁、C₂于點(diǎn)A、D，且AB=BD．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)：
（2）如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他條件不變，求CD的長和a₂的值；
（3）如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他條件不變，求b₁+b₂的值

2

3

（直接寫結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BC，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可得AC=BC，BC=BD，再根據(jù)已知條件AB=BD，可以證明得到△ABC是等邊三角形，所以∠ACE=30°，然后設(shè)AE=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CE的長，再根據(jù)拋物線C₁：y₁=x²+1求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線C₁的解析式，然后解關(guān)于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，然后表示出C的坐標(biāo)，再設(shè)AE=m，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出CE的長度，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線C₁，整理后解關(guān)于m的一元二次方程，再根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出CD的長；根據(jù)CD的長求出CE的長度，然后表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B在是拋物線C₂的頂點(diǎn)，從而得到拋物線C₂的頂點(diǎn)式解析式，然后根據(jù)點(diǎn)C在拋物線C₂上，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線C₂的解析式，整理求解即可得到a₂的值；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可知，a₂=-a₁，然后利用兩拋物線的對稱軸表示出CD的長度，再根據(jù)（1）（2）的求解過程可得CD=2×

3

a1

，然后代入進(jìn)行計算即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接AC、BC，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E，
∵AB∥x軸，CD∥x軸，C、B為拋物線C₁、C₂的頂點(diǎn)，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACE=30°，
設(shè)AE=m，
則CE=

3

AE=

3

m，
∵y₁=x²+1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-m，1+

3

m），
∵點(diǎn)A在拋物線C₁上，
∴（-m）²+1=1+

3

m，
整理得m²-

3

m=0，
解得m₁=

3

，m₂=0（舍去），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-

3

，4）；


（2）如圖2，連接AC、BC，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，
設(shè)拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（h₁，k₁），
設(shè)AE=m，
∴CE=

3

m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（h₁-m，k₁+

3

m），
∵點(diǎn)A在拋物線y₁=2（x-h₁）²+k₁上，
∴2（h₁-m-h₁）²+k₁=k₁+

3

m，
整理得，2m²=

3

m，
解得m₁=

3

2

，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=

3

，
∴CD=

3

，
即CD的長為

3

，
根據(jù)題意得，CE=

3

2

BC=

3

2

×

3

=

3

2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（h₁+

3

2

，k₁+

3

2

），
又∵點(diǎn)B是拋物線C₂的頂點(diǎn)，
∴y₂=a₂（x-h₁-

3

2

）²+k₁+

3

2

，
∵拋物線C₂過點(diǎn)C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁-h₁-

3

2

）²+k₁+

3

2

=k₁，
整理得

3

4

a₂=-

3

2

，
解得a₂=-2，
即a₂的值為-2；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，a₂=-a₁，

1

2

CD=-

b2

2a2

-（-

b1

2a1

）=

b2

2a1

+

b1

2a1

=

b1+b2

2a1

，
根據(jù)（1）（2）的求解，CD=2×

3

a1

，
∴b₁+b₂=2

3

．

點(diǎn)評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的對稱性，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式與一般解析式之間的轉(zhuǎn)化，對同學(xué)們的能力要求較高，靈活性較強(qiáng)，規(guī)律總結(jié)比較重要，總體而言，本題難度較大，是道難得的好題．