如圖,Rt△ACB和Rt△BAD中,∠ACB=∠BDA=90°,∠ABC=∠BAD,邊AD與BC相交于點(diǎn)E.
(1)在圖1中,求證:AC=BD;
(2)當(dāng)Rt△ACB沿BC方向平移到圖2所示位置時(shí),邊A1C1與AB邊交于點(diǎn)F.過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G.此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量和猜想.寫(xiě)出FG+FC1與BD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,然后證明你的猜想;
(3)當(dāng)Rt△ACB沿BC方向平移到圖3所示的位置(點(diǎn)C1在線段BE上,且點(diǎn)C1與點(diǎn)B不重合)時(shí),(2)中的猜想是否仍然成立?(不用說(shuō)明理由)
分析:(1)由已知的兩對(duì)角相等,加上公共邊AB=BA,利用AAS得出三角形ABC與三角形ABD全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證;
(2)FG+FC1=BD;理由為:過(guò)F作FH垂直于BD,由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到GFHD為矩形,可得FG=DH,DG與FH平行,由平行得到一對(duì)同位角相等,再由平移的性質(zhì)及已知的兩角相等得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等及FB為公共邊,利用AAS可得出三角形C1FB與三角形HBF全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到C1F=HB,等量代換即可得證;
(3)當(dāng)Rt△ACB沿BC方向平移到圖3所示的位置(點(diǎn)C1在線段BE上,且點(diǎn)C1與點(diǎn)B不重合)時(shí),(2)中的猜想仍然成立,證明方法同理.
解答:(1)證明:在Rt△ACB和Rt△BDA中,
∠ACB=∠BDA=90°
∠ABC=∠BAD
AB=BA

∴△ACB≌△BDA(AAS),
∴AC=BD;

(2)FG+FC1=BD;理由為:
證明:過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于點(diǎn)H(如圖2),
∵FG⊥AD于點(diǎn)G,∠D=90°,
∴四邊形FGDH為矩形,
∴FG=HD,DG∥FH,
∴∠DAB=∠HFB,
∵∠DAB=∠CBA,
∴∠CBA=∠HFB,
在△C1FB≌△HBF中,
∠CBA=∠HFB
A1C1B1=∠FHB=90°
FB=BF

∴△C1FB≌△HBF(AAS),
∴C1F=HB,
∴GF+C1F=DH+HB=BD,即FG+FC1=BD;

(3)仍然成立.關(guān)系式為FG+FC1=BD,理由為:
證明:過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD于點(diǎn)H(如圖3),
∵FG⊥AD于點(diǎn)G,∠D=90°,
∴四邊形FGDH為矩形,
∴FG=HD,DG∥FH
∴∠DAB=∠HFB,
∵∠DAB=∠CBA,
∴∠CBA=∠HFB,
在△C1FB≌△HBF中,
∠CBA=∠HFB
A1C1B1=∠FHB=90°
FB=BF

∴△C1FB≌△HBF(AAS),
∴C1F=HB,
∴GF+C1F=DH+HB=BD,即FG+FC1=BD.
點(diǎn)評(píng):此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),平移的性質(zhì),以及矩形的判額定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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如圖,Rt△ACB和Rt△BAD中,∠ACB=∠BDA=90°,∠ABC=∠BAD,邊AD與BC相交于點(diǎn)E.
(1)在圖1中,求證:AC=BD;
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