(2008•荊州)如圖,等腰直角三角形紙片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,直角邊AC在x軸上,B點(diǎn)在第二象限,A(1,0),AB交y軸于E,將紙片過(guò)E點(diǎn)折疊使BE與EA所在直線重合,得到折痕EF(F在x軸上),再展開(kāi)還原沿EF剪開(kāi)得到四邊形BCFE,然后把四邊形BCFE從E點(diǎn)開(kāi)始沿射線EA平移,至B點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)停止.設(shè)平移時(shí)間為t(s),移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,平移中四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為S.
(1)求折痕EF的長(zhǎng);
(2)是否存在某一時(shí)刻t使平移中直角頂點(diǎn)C經(jīng)過(guò)拋物線y=x2+4x+3的頂點(diǎn)?若存在,求出t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍.

【答案】分析:(1)因?yàn)檎郫B后BE與EA所在直線重合推出EF=EA,OA=OE=1,可求出AE,EF的值.
(2)設(shè)CP∥BA交Y軸于P,推出△POC為等腰直角三角形,求出點(diǎn)C移動(dòng)的水平距離后可求出時(shí)間.
(3)本題考查的是分段函數(shù)的知識(shí).
解答:解:(1)∵折疊后BE與EA所在直線重合
∴FE⊥EA又Rt△ABC中AC=BC
∴∠CAB=45°
∴EF=EA
∵A(1,0)
∴OA=OE=1,AE=
∴折痕EF=

(2)存在,設(shè)CP∥BA交Y軸于P,
則△POC為等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)C在射線CP上移動(dòng)
∵AC=4,OA=1
∴OC=OP=3
∴C(-3,0),P(0,-3)可求得PC所在直線解析式為:y=-x-3
∵直角頂點(diǎn)C從(-3,0)位置移動(dòng)到(-2,-1)時(shí),水平移動(dòng)距離為|-2-(-3)|=1(長(zhǎng)度單位)
∴直角頂點(diǎn)C從開(kāi)始到經(jīng)過(guò)此拋物線頂點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間t==
(3)當(dāng)0≤t≤時(shí),
四邊形BCFE與△AEF重疊的面積為:直角梯形EFQE 1,
故面積為:S=(EF+E1Q)×EE1=t(-t+)=-t2+t,
同理可得出其它函數(shù)解析式:
s=
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查的是分段函數(shù)的知識(shí),二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角函數(shù)的應(yīng)用.難度較大.
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