Question

在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AB的中點(diǎn)P處，將三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AC、CB于D、E兩點(diǎn)，如圖①、②所示．
問PD與PE有何大小關(guān)系？在旋轉(zhuǎn)過程中，還會(huì)存在與圖①、②不同的情形嗎？若存在，請?jiān)趫D③中畫出，并選擇圖②或圖③為例加以證明，若不存在請選擇圖②加以證明．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形判斷出四邊形CEPD是正方形，再根據(jù)正方形的四條邊都相等解答；
根據(jù)點(diǎn)D、E的位置判斷出還有不同的情形，然后過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，根據(jù)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)判斷出四邊形MCNP是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得PM=PN，∠MPN=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DPM=∠EPN，然后利用“角邊角”證明△PDM和△PEN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答：解：PD=PE．
還有不同的情形如圖③；
過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，
∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，AC=BC，∠C=90°，
∴四邊形MCNP是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠DPM+∠MPE=∠DPE=90°，
∠EPN+∠MPE=∠MPN=90°，
∴∠DPM=∠EPN，
在△PDM和△PEN中，

∠DPM=∠EPN PM=PN ∠PMD=∠PNE=90°

，
∴△PDM≌△PEN（ASA），
∴PD=PE．

點(diǎn)評：考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．