Question

已知，矩形ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分線EF 分別交AD、BC于點E、F，垂足為O。
(1)如圖1，連接AF、CE，求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；    
(2)如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中：    
①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，當A、C、P、Q四點為頂點的四邊是平行四邊形時，求t的值；
③若點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知 A、C、P、Q 四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求a與b 滿足的數量關系式.

Answer 1

解：(1)證明：
①∵四邊形ABCD是矩形，   
∴AD//BC.     
∴∠CAD=∠ACB,  ∠AEF=∠CFE,    
∵EF垂直平分AC，垂足為O，  
∴OA=OC，    
∴△AOE全等△COF，    
∴OE= OF，    
∴四邊形AFCE為平行四邊形，    
又∵EF⊥AC，    
∴四邊形AFCE為菱形.   
 ②設菱形的邊長AF=CF=xcm，則BF=(8-x)cm，    
在Rt△ABF中，AB=4cm，    
由勾股定理得：4²+ (8-x)² =x²，
解得：x=5
∴ AF=5 cm-    
(2)①顯然當P點在AF上時，Q點在CD上
此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形；
同理P點在AB上時，Q點在DE或CE上，也不能構成平行四邊形
因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時，才能構成平行四邊形。
∴以 A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時.PC=QA.     
∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t 秒，  
 ∴PC=5t ，QA= 12-4t.  
∴5t= 12-4t，
解得：
∴以 A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時
   
 ②由題意得，以 A、C、P、Q 四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，點 P、Q在互相平行的對應邊上，分三種情況：   
i）如圖1，當P點在AF 上、Q點在CE上時.AP= CQ，即a= 12 - b ,得a + b= 12.  
ii）如圖2，當P點在BF 上、Q點在DE上時.AQ= CP，即12 - b= a , 得a+ b= 12.   
iii）如圖3，當P點在AB 上、Q點在CD上時.AP= CQ，即12-a--=b,得 a+b=12.    
綜上所述，a 與b 滿足的數量關系式是a十b=12(ab≠0).