Question

（1）如圖所示，A、D、B三點在同一直線上，延長AO至E，使AE交CB于E，△ADC、△BDO為等腰直角三角形，試證明AO=BC，AO⊥BC
（2）若△BDO繞頂點D旋轉(zhuǎn)一任意角度得到圖2，請問（1）中的結論還成立嗎？若成立請證明；若不成立請說明理由．

Answer 1

證明：（1）如圖1，延長AO至E，使AE交CB于E，
∵△ADC、△BDO為等腰直角三角形，
∴AD=CD，OD=BD，∠ADC=∠ODB=90°，
在△ADO和△CDB中，
∵，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴∠DAO=∠DCB，AO=BC，
又∵∠DBC+∠DCB=90°，
∴在△AEB中，∠BAE+∠ABC=∠AEB=90°，
∴AO⊥BC；

（2）如圖2，AO與BC相交于點F，OD與BC相交于點E，
同（1），可證得△ADO≌△CDB，
∴AO=BC，∠AOD=∠CBD，
又∵∠CBD+∠DEB=90°，∠DEB=∠FEO，
∴△EFO中，∠FOE+∠FEO=90°，
∴∠EFO=180°-90°=90°
∴AO⊥BC．
分析：（1）如圖1，根據(jù)題意，△ADC、△BDO為等腰直角三角形，易證△ADO≌△CDB，可得∠DAO=∠DCB，AO=BC，又由∠DBC+∠DCB=90°，所以，在△AEB中，∠BAE+∠ABC=∠AEB=90°；
（2）如圖2，令AO與BC相交于點F，OD與BC相交于點E，同理，可證得△ADO≌△CDB，可得AO=BC，∠AOD=∠CBD，又由∠CBD+∠DEB=90°，∠DEB=∠FEO，所以，△EFO中，∠FOE+∠FEO=90°，即可證得．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．