Question

已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上．
（1）當P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關系（只回答結果）；
（2）當P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結論還成立嗎？證明你的結論；
（3）當P、C都在AB上方時（如圖3），過C點做CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，試求PD：AB的值為多少？

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用對折的性質得到△OAP≌△OCP，則∠1=∠2，根據(jù)三角形外角性質得∠1+∠2=∠B+∠OCB，于是可得到∠2=∠B，然后根據(jù)平行線的判定定理得到PO∥BC；

（2）由△OAP≌△OCP得到∠1=∠2，而∠A=∠2，則∠A=∠3，根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠3，則∠1=∠3，然后根據(jù)平行線的判定定理得到PO∥BC；

（3）根據(jù)切線的性質得OC⊥CD，易得OC∥AD，則∠2=∠4，∠A=∠3，而∠A=∠4，所以∠2=∠3，利用OP∥BC同理得到∠3=∠5，則可判斷△OBC為等邊三角形，所以∠3=∠2=60°，于是可判斷△OPC也為等邊三角形，得到∠6=60°，PC=OC，可計算出∠7=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得PD=

1

2

PC，

由此易得PD：AB=1：4．

解答：解：（1）如圖1，
∵△AOP沿OP對折，點A的對應點C恰好落在⊙O上．
∴△OAP≌△OCP，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=∠B+∠OCB，
而OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠2=∠B，
∴PO∥BC；


（2）結論仍然成立．理由如下：
∵△OAP≌△OCP，
∴∠1=∠2，
∵OP=OA，
∴∠A=∠2，
∵∠A=∠3，
∴∠1=∠3，
∴PO∥BC；


（3）∵CD為是⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠4，∠A=∠3，
而∠A=∠4，
∴∠2=∠3，
∵OP∥BC，
∴∠2=∠5，
∴∠3=∠5，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠3=∠2=60°，
∴△OPC為等邊三角形，
∴∠6=60°，PC=OC，
∴∠7=30°，
∴PD=

1

2

PC，
∴PD=

1

2

OC=

1

4

AB，即PD：AB=1：4．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、切線的性質以及平行線的判定與性質；運用等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系進行幾何計算．