Question

（2008•武漢）如圖1，拋物線(xiàn)y=ax²-3ax+b經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（3，2）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若直線(xiàn)y=kx-1（k≠0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)E（1，-1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點(diǎn)M，N，Q分別與點(diǎn)A，E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M，N在拋物線(xiàn)上，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：首先把已知坐標(biāo)代入解析式求出拋物線(xiàn)解析式．然后作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，得出四邊形ABCD是等腰梯形，由矩形的中心對(duì)稱(chēng)性得出過(guò)P點(diǎn)且與CD相交的任一直線(xiàn)將梯形ABCD的面積平分．設(shè)M（m，n），N（m-2，n+1）利用等式關(guān)系求出m，n的值后即可．
解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)y=ax²-3ax+b過(guò)A（-1，0）、C（3，2），
∴0=a+3a+b，2=9a-9a+b．
解得a=-，b=2，
∴拋物線(xiàn)解析式y(tǒng)=-x²+x+2．

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
由y=-x²+x+2得B（4，0）、D（0，2）．
又∵A（-1，0），C（3，2），
∴CD∥AB．
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
設(shè)矩形ODCH的對(duì)稱(chēng)中心為P，則P（，1）．
由矩形的中心對(duì)稱(chēng)性知：過(guò)P點(diǎn)任一直線(xiàn)將它的面積平分．
∴過(guò)P點(diǎn)且與CD相交的任一直線(xiàn)將梯形ABCD的面積平分．
當(dāng)直線(xiàn)y=kx-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，
得1=k-1
∴k=．
∴當(dāng)k=時(shí)，直線(xiàn)y=x-1將四邊形ABCD面積二等分．

（3）如圖2，由題意知，四邊形AEMN為平行四邊形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，-1）、A（-1，0），
∴設(shè)M（m，n），則N（m-2，n+1）
∵M(jìn)、N在拋物線(xiàn)上，
∴n=-m²+m+2，n+1=-（m-2）²+（m-2）+2，
解得m=3，n=2．
∴M（3，2），N（1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題的綜合性強(qiáng)，是不可多得的一道答題．重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)以及平行四邊形，梯形的性質(zhì)，難度較大．