Question

如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O、與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連接OC．
求證：（1）△ACE≌△BCD
（2）∠BOC=∠EOC．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中
∵，
∴△ACE≌△BCD；

（2）證明：過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴∠DNC=∠EMC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CDB=∠AEC，
在△DNC和△EMC中
，
∴△DNC≌△EMC，
∴CN=CM，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴∠BOC=∠EOC（到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，推出∠BCD=∠ACE，根據(jù)SAS推出全等即可；
（2）過C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，由（1）全等知：∠CDB=∠AEC，根據(jù)AAS證△DNC≌△EMC，推出CN=CM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可．
點(diǎn)評：考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解（1）小題的關(guān)鍵是求出證△ACE≌△BCD的三個條件；解（2）小題的關(guān)鍵是正確作輔助線后求出CM=CN，題目具有一定的代表性，有一定的難度．