Question

【例3】 設函數(shù)f(x)= -ax,其中a>0,求a的取值范圍,使函數(shù)f(x)在［0，+∞)上為單調(diào)函數(shù).

解:任取x₁、x₂∈［0,+∞)且x₁<x₂,則

f(x₁)-f(x₂)= --a(x₁-x₂)

=-a(x₁-x₂)

=(x₁-x₂)(-a).

(1)當a≥1時,∵<1,

又∵x₁-x₂<0,

∴f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂).

∴a≥1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間［0，+∞)上為減函數(shù).

(2)當0<a<1時，在區(qū)間［0，+∞)上存在x₁=0,x₂=,滿足f(x₁)=f(x₂)=1,

∴0<a<1時，f(x)在［０,+∞)上不是單調(diào)函數(shù).

評注: ①判斷單調(diào)性常規(guī)思路為定義法;②變形過程中<1利用了>|x₁|≥x₁, >x₂這個結(jié)論;③從a的范圍看還需討論0<a<1時f(x)的單調(diào)性，這也是數(shù)學嚴謹性的體現(xiàn).

Answer 1

三、反函數(shù)的理解及應用

【例4】 設函數(shù)f(x)=，已知函數(shù)y=g(x)的圖象與y=f^--1(x+1)的圖象關于直線y=x對稱，求g(3)的值.

分析一:f(x)→f^-1(x)→f^-1(x+1)→g(x)→g(3).

解法一:由y=f(x)= ,得f^--1(x)= ,