Question

有[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[5]=5，[3.2]=3，[-2]=-2，[-1.5]=-2．求故[

29×1

101

]+[

29×2

101

]+…+[

29×100

101

]的值．

Answer 1

分析：根據(jù)29與101互質(zhì)得出當(dāng)k=1，2，…，100時(shí)，

29k

101

都不是整數(shù)，從而可分別得出[

29k

101

]、[

29(101-k)

101

]的范圍，兩者相加可得出28＜[

29k

101

]+[

29(101-k)

101

]＜29，根據(jù)取整函數(shù)的定義可得出這兩項(xiàng)的和為28，將原式首尾結(jié)合，即可求出結(jié)果．

解答：解：∵29與101互質(zhì)，
∴當(dāng)k=1，2，…，100時(shí)，

29k

101

都不是整數(shù)，
則

29k

101

-1＜[

29k

101

]＜

29k

101

；

29(101-k)

101

-1＜[

29(101-k)

101

]＜

29(101-k)

101

，
故（

29k

101

-1）+（

29(101-k)

101

-1）＜[

29k

101

]+[

29(101-k)

101

]＜

29k

101

+

29(101-k)

101

，
即27＜[

29k

101

]+[

29(101-k)

101

]＜29，
因此[

29k

101

]+[

29(101-k)

101

]=28，
從而可以把[

29×1

101

]，[

29×2

101

]，…，[

29×100

101

]首尾配對(duì)，共配成50對(duì)，每一對(duì)的和為28．
故[

29×1

101

]+[

29×2

101

]+…+[

29×100

101

]=28×50=1400．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了取整函數(shù)的知識(shí)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)取整函數(shù)的定義得出[

29k

101

]、[

29(101-k)

101

]的范圍，得出首尾依次結(jié)合結(jié)果為同一個(gè)值，像此類求多項(xiàng)相加的式子的和一般會(huì)用到結(jié)合某些項(xiàng)這種思想．