Question

⑴ 如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點，F是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH；

⑵如圖2，若將“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明；

⑶如圖3，若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明．

 

附加題：根據(jù)前面的探究，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題，畫出圖形，并證明，若不能，說明理由．

Answer 1

⑴ 如圖1，已知正方形ABCD，E是AD上一點，F是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，求證：EF=GH；

⑵如圖2，若將“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明；

M

⑶如圖3，若若將“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他條件不變，探索線段EF與線段GH的關(guān)系并加以證明．

 

⑴略證：如圖，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N

證△GNH≌△FME

∴EF=GH                   

⑵略證：如圖，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N

證△GNH≌△FME

∴EF=GH                

⑶略證：如圖，過點F作FM⊥AD于M，過點G作GN⊥CD于N

證△GNH∽△FME

∴          

附加題：

已知平行四邊形ABCD，E是AD上一點，F是BC上一點，G是AB上一點，H是CD上一點，線段EF、GH交于點O，∠EOH=∠C，AD=mAB，則GH=mEF

略證：如圖，過點F作FM⊥AD于M，

過點G作GN⊥CD于N

證△GNH∽△FME

∴

即GH=mEF．