Question

我們通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：拋物線y=x²+2x-1的頂點(diǎn)（-1，-2）在拋物線y=-x²+2x+1上，同時(shí)拋物線y=-x²+2x+1的頂點(diǎn)（1，2）也在拋物線y=x²+2x-1上，這時(shí)我們稱這兩條拋物線是相關(guān)的．
（1）問(wèn)：拋物線y=x²-2x-1與拋物線y=-x²-2x+1是否相關(guān)，并說(shuō)明理由．
（2）如圖，已知拋物線C：y=

1

8

（x+1）²-2，頂點(diǎn)為M．
①若有一動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2），現(xiàn)將拋物線C繞點(diǎn)P（m，2）旋轉(zhuǎn)180°得到新的拋物線C′，且拋物線C與新的拋物線C′相關(guān)，求拋物線C′的解析式．
②若拋物線C′與C相關(guān)，頂點(diǎn)為N，現(xiàn)以MN為斜邊作等腰直角△MNQ，問(wèn)y軸上是否存在滿足要求的點(diǎn)Q？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先找出前后兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，然后將它們的頂點(diǎn)分別代入對(duì)方的拋物線解析式中進(jìn)行驗(yàn)證，若各自的頂點(diǎn)分別在對(duì)方的拋物線圖象上，即可確定兩者相關(guān)，反之則不能．
（2）①拋物線C′是由拋物線C繞點(diǎn)P（m，2）旋轉(zhuǎn)180゜所得，那么兩條拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，據(jù)此求出拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)，若拋物線C、C′相關(guān)，那么拋物線C′的頂點(diǎn)必在拋物線C的函數(shù)圖象上，因此只需將C′的頂點(diǎn)代入拋物線C中求解即可；
②在①中已求出拋物線C′的頂點(diǎn)，先設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后由坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式求出MQ²、NQ²、MN²，若△MNQ是以MN為斜邊的等腰直角三角形，那么必須滿足：MQ²=MN²，且MQ²+NQ²=MN²，若兩式成立，那么存在符合條件的Q點(diǎn)，反之，則不存在．

解答：解：（1）拋物線y=x²-2x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，-2）；
拋物線y=-x²-2x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，2）；
①當(dāng)x=1時(shí)，y=-x²-2x+1=-1-2+1=-2，∴點(diǎn)（1，-2）在拋物線y=-x²-2x+1上；
②當(dāng)x=-1時(shí)，y=x²-2x-1=1+2-1=2，∴點(diǎn)（-1，2）在拋物線y=x²-2x-1上；
因此，拋物線y=x²-2x-1與拋物線y=-x²-2x+1相關(guān)．

（2）①拋物線C：y=

1

8

（x+1）²-2的頂點(diǎn)M（-1，-2）；
由于拋物線C′是拋物線C繞點(diǎn)P（m，2）旋轉(zhuǎn)180゜所得，所以拋物線C、C′的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，
∴拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)M′（

2m+1

2

，6），拋物線C′：y=-

1

8

（x-

2m+1

2

）²+6；
已知拋物線C和拋物線C′相關(guān)，那么點(diǎn)M′必在拋物線C的函數(shù)圖象上，即：
6=

1

8

（

2m+1

2

+1）²-2，解得：m₁=

13

2

、m₂=-

19

2

；
∴拋物線C′的解析式為：y=-

1

8

（x-7）²+6或y=-

1

8

（x+9）²+6．

②由①得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（7，6）或（-9，6）；
已知：M（-1，-2），設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，m），則：
當(dāng)N點(diǎn)�。�7，6）時(shí)，MN²=（7+1）²+（6+2）²=128、NQ²=（7-0）²+（6-m）²=m²-12m+85、MQ²=（-1-0）²+（-2-m）²=m²+4m+5
令，MQ²=NQ²，則 m²-12m+85=m²+4m+5，m=5
此時(shí)，MQ²+NQ²=50+50=100≠M(fèi)N²
∴當(dāng)N（7，6）時(shí)，不存在符合條件的Q點(diǎn)，使得△MNQ是等腰直角三角形；
同理可得：當(dāng)N取（-9，6）時(shí)，也不存在符合條件的Q點(diǎn)；
綜上，不存在符合條件的點(diǎn)Q，使得△MNQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：解答該題首先要充分理解題干資料所表達(dá)的含義，圍繞二次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、等腰直角三角型的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí)對(duì)題目展開(kāi)分析；（2）①的難度較大，找出兩個(gè)拋物線頂點(diǎn)間的關(guān)系是突破題目的關(guān)鍵所在．此外，還要注意類似題目間的聯(lián)系，如：將（2）②的“拋物線C′”改為“拋物線C″”時(shí)，解題的過(guò)程就會(huì)有很大不同，此時(shí)，可分別過(guò)M、N作y軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．