Question

如圖，拋物線y=ax²-2ax+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B（0，4）．
（1）求a、c的值；
（2）將上述拋物線向右平移，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，當四邊形A A′B′B為菱形時，求平移后的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）連接A′B，設點P是線段A′B上的一個動點，連接OP、AP，求當△AOP的周長取最小值時BP的長．

Answer 1

解：（1）由題意得：
解得：
∴拋物線的解析式為：
即
∴a=，c=4

（2）∵四邊形A A′B′B為菱形
∴AA′=A′B′=B′B=BA，由勾股定理得，
AB=5
∴拋物線向右平移了5個單位
∴平移后拋物線的解析式為：

（3）連接A′B，作點O關(guān)于A′B的對稱點O′交A′B于點C，連接O′A交A′B于點P．
設直線A′B的解析式為：y=kx+b，得
解得：
∴直線A′B的解析式為：
在直角三角形A′OB中，由勾股定理得
A′B=4，由三角形面積公式得OC=，設點C（x，）
由勾股定理得：C（），利用三角形的中位線定理求得
O′（）
設O′A的解析式為y=kx+b，得
解得

∴O′A的解析式為：y=32x-96
∴O′A與直線A′B的交點坐標為：P（）
由兩點間的距離公式得，PB=．
分析：（1）要求a、c的值需要運用待定系數(shù)法將點A、B的坐標代入解析式就可．
（2∵平移后為菱形，先要根據(jù)勾股定理AB的長，就可以判斷需要平移的單位數(shù)，然后將原解析式化為頂點式，寫出新解析式就可以了．
（3）要求△APO周長最小時PB的長，實際上軸對稱問題，找到O點關(guān)于A′B的對稱點O′，求出該點的坐標，然后求出O'A的解析式，再求出P點的坐標，利用距離公式求出PB的長．
點評：本題是一道二次函數(shù)綜合題，考查了用待定系數(shù)法求系數(shù)的值，圖象的平移以及拋物線頂點式的運用，菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，直線的交點坐標．綜合性較強，難度較大．