Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△OMN的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤6），試求S與t的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在題（2）的條件下，t為何值時(shí)，S的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了菱形的邊長(zhǎng)，過(guò)A作AD⊥OC于D，在直角三角形OAD中，可根據(jù)OA的長(zhǎng)和∠AOC的度數(shù)求出OD和AD的長(zhǎng)，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)向右平移4個(gè)單位即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)l過(guò)A點(diǎn)時(shí)，ON=OD=2，因此t=2；當(dāng)l過(guò)C點(diǎn)時(shí)，ON=OC=4，此時(shí)t=4．因此本題可分三種情況：
①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，此時(shí)ON=t，MN=t，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，此時(shí)三角形OMN中，NM的長(zhǎng)與AD的長(zhǎng)相同，而ON=t，由此就不難得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，可設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)為H，那么三角形OMN可以MN為底，OH為高來(lái)計(jì)算其面積．OH的長(zhǎng)為t，而MN的長(zhǎng)可通過(guò)MH-NH來(lái)求得，其中，MH可用OH和∠MOH的正切值求出，HN可用CH的長(zhǎng)和∠BCH的正切值求出．據(jù)此可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）根據(jù)（2）中各函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．
解答：解：（1）∵四邊形OABC為菱形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4．
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于D．
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2．
∴A（2，2），B（6，2）．（3分）

（2）直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：
①0≤t≤2時(shí)，直線l與OA、OC兩邊相交，（如圖①）．

∵M(jìn)N⊥OC，
∴ON=t．
∴MN=ONtan60°=t．
∴S=ON•MN=t²．（4分）
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線l與AB、OC兩邊相交，（如圖②）．

S=ON•MN=×t×2=t．（6分）
③當(dāng)4＜t≤6時(shí)，直線l與AB、BC兩邊相交，（如圖③）．

設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)H．
∵M(jìn)N=2-（t-4）=6-t，
∴S=OH•MN=t（6-t）
=-t²+3t．

（3）由（2）知，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，S_最大=×2²=2，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，S_最大=，
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，配方得S=-（t-3）²+，
∴當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)S=-t²+3t的最大值是．
但t=3不在4＜t≤6內(nèi)，
∴在4＜t≤6內(nèi)，函數(shù)S=-t²+3t的最大值不是．
而當(dāng)t＞3時(shí)，函數(shù)S=-t²+3t隨t的增大而減小，
∴當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S＜4．
綜上所述，當(dāng)t=4時(shí)，S_最大=．
點(diǎn)評(píng)：本題為運(yùn)動(dòng)性問(wèn)題，考查了菱形的性質(zhì)、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)．
考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)數(shù)形方法．