Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點、點在軸上（點在點的左側），點在第一象限，滿足為直角，且恰使∽△，拋物線經過、、三點．

（1）求線段、的長；

（2）求點的坐標及該拋物線的函數關系式；

（3）在軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OB=6，=；（2）的坐標為；；（3）存在，，，，

【解析】

（1）根據題意先確定OA，OB的長，再根據△OCA∽△OBC，可得出關于OC、OA、OB的比例關系式即可求出線段、的長；

（2）由題意利用相似三角形的對應邊成比例和勾股定理來求C點的坐標，并將C點坐標代入拋物線中即可求出拋物線的解析式；

（3）根據題意運用等腰三角形的性質，對所有符合條件的點的坐標進行討論可知有四個符合條件的點，分別進行分析求解即可．

解：（1）由（）

得，，即：，

∵∽

∴

∴（舍去）

∴線段的長為.

（2）∵∽

∴，

設，

則，

由

得，

解得（-2舍去），

∴，，

過點作于點，

由面積得，∴的坐標為

將點的坐標代入拋物線的解析式得

∴.

（3）存在，，，

①當P1與O重合時，△BCP1為等腰三角形

∴P1的坐標為（0，0）；

②當P2B=BC時（P2在B點的左側），△BCP2為等腰三角形

∴P2的坐標為（6-2，0）；

③當P3為AB的中點時，P3B=P3C，△BCP3為等腰三角形

∴P3的坐標為（4，0）；

④當BP4=BC時（P4在B點的右側），△BCP4為等腰三角形

∴P4的坐標為（6+2，0）；

∴在x軸上存在點P，使△BCP為等腰三角形，符合條件的點P的坐標為：

，，，.