Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)t取何值時(shí)PQ∥AB？

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4.8；（2）當(dāng)t=3時(shí)，PQ∥AB；（3）當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時(shí)，△CPQ為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論；

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長(zhǎng)，再根據(jù)PQ∥AB，得到△QCP∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三種情況進(jìn)行討論．

解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD===4.8．

∴線段CD的長(zhǎng)為4.8．

（2）設(shè)DP=t，CQ=t．則CP=4.8﹣t．

∵PQ∥AB，

∵△QCP∽△ABC

∴，即，

∴t=3，

當(dāng)t=3時(shí)，PQ∥AB；

（3）①若CQ=CP，如圖1，

則t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴，

∴=，解得t=；

③若QC=QP，

過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t=．

綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或秒或秒時(shí)，△CPQ為等腰三角形．