Question

已知拋物線y=x²+bx+c交x軸于A（1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，其頂點為D．
（1）求b、c的值并寫出拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，過點O作直線OE⊥BC交拋物線的對稱軸于點E．求證：四邊形ODBE是等腰梯形；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數b、c的值，進而可得到拋物線的對稱軸方程；
（2）設拋物線的對稱軸DE與x軸的交點為F，根據拋物線的對稱軸方程即可求得F點的坐標；根據拋物線的解析式可求出C、D的坐標，即可證得△OBC、△BDF都是等腰直角三角形，那么∠DBF=∠CBA=∠EOB=45°，由此可證得OE∥BD，然后再根據O、D、B、E四點坐標求出OD、BE的長，即可證得所求的結論；
（3）首先求出四邊形ODBE的面積，進而可得到△OBQ的面積，由于OB的長為定值，根據△OBQ的面積即可確定Q點縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求得Q點的坐標．
解答：（1）解：分別把A（1，0）、B（3，0）兩點坐標代入y=x²+bx+c得到關于b、c的方程組，
解之得：b=-4，c=3，
∴拋物線的對稱軸為：直線x=2；

（2）證明：拋物線的解析式為y=x²-4x+3，
當x=0時，y=3
∴C點坐標為（0，3），
而y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線頂點D點坐標為（2，-1）．
∴tan∠DOF=；
設拋物線的對稱軸DE交x軸于點F，
∴F點坐標為（2，0），連接OD，DB，BE．
∵△OBC是等腰直角三角形，OE⊥BC，
∴∠EOB=45°，而OF=2，EF⊥OB，
∴EF=2，
∴E點坐標為（2，2），
∴tan∠ABE=2，
∴∠DAF≠∠ABE，
∴DO與EB不平行．
而△DFB也是等腰直角三角形，
∴∠BOE=∠OBD=45°，
∴OE∥BD，
∴四邊形ODBE是梯形．（5分）
在Rt△ODF和Rt△EBF中，
OD=，BE=，
∴OD=BE，
∴四邊形ODBE是等腰梯形．（7分）

（3）解：存在．理由如下：（8分）
由題意得：S_{四邊形ODBE}=．（9分）
設點Q坐標為（x，y）．
由題意得：S_三角形OBQ=，S_{四邊形ODBE}=，
∴y=±1．
當y=1時，即x²-4x+3=1，
∴，，
∴Q點坐標為（2+，1）或（2-，1）（11分）
當y=-1時，即x²-4x+3=-1，
∴x=2，
∴Q點坐標為（2，-1），即為頂點D．
綜上所述，拋物線上存在三點Q₁（2+，1），Q₂（2-，1），Q₃（2，-1）．
使得S_三角形OBQ=S_{四邊形ODBE}．（12分）
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、等腰梯形的判定以及圖形面積的求法等知識的綜合應用能力．