Question

已知：如圖，三個半圓彼此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并與直線y=

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x相切，設(shè)半圓C₁、半圓C₂、半圓C_3…的半徑分別是r₁、r₂、r_3…．，則當r₁=1時，則r₂₀₁₂=

3²⁰¹¹

．

Answer 1

分析：設(shè)三個半圓與直線y=

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x分別相切于A、B、C點，分別連接圓心與切點，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個直角三角形，再由直線OC的方程得到直線的傾斜角為30°，根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到OC₁=2C₁A，0C₂=2C₂B，0C₃=2C₃C，再由三半圓彼此外切，得到相兩圓的圓心距等于兩半徑相加，得出r₁、r₂、r₃間的關(guān)系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此規(guī)律可歸納出r₂₀₁₂的值．

解答：解：設(shè)半圓C₁、半圓C₂、半圓C₃直線y=

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x分別相切于點A，B，C，連接C₁A，C₂B，C₃C，
則C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
∵tan∠COC₁=

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，
∴∠COC₁=30°，
又∵三半圓彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₂+r₂+r₃=3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，3r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴r₂=3r₁，r₃=3r₁+2r₂，
∵r₁=1=3⁰，
∴r₂=3=3¹，
∴r₃=9=3²，
∴按此規(guī)律歸納得：r_n=3^n-1，
∴r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故答案為：3²⁰¹¹．

點評：此題考查了兩圓相切的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．