Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+m交y軸于點A，交x軸于點B，點C坐標(biāo)（

m

2

，0 ），作C關(guān)于AB對稱點F，連BF和OF，OF交AC于點E，交AB于點M．
（1）求證：OF⊥AC；

（2）連接CF交AB于點H，求證：AH=

3

2

CF；

（3）若m=2，E為x軸負(fù)半軸上一動點，連接ME，過點M作EM的垂線交FB的延長線于點D，問EB-BD的值是否改變，若不變，求其值，若改變，求其取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再通過對稱得到FB=BC且垂直x軸，從而證直角△OAC≌直角△FOB，得到OF⊥AC．
（2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出BA，BF，BH即可．
（3）過M點作MN⊥x軸于N點，MH⊥DF于H點，證明直角△MEN≌直角△MDH．

解答：證明：（1）C，F(xiàn)關(guān)于AB對稱，則FB⊥x軸，F(xiàn)B=BC．
由y=-x+m得A（0，m），B（m，0），而C（

m

2

，0），所以O(shè)C=BC=BF，OA=OB，
∴直角△OAC≌直角△FOB
∴∠FOB=∠OAC
∴∠FOB+∠ACO=90°即OF⊥AC．

（2）在直角三角形BCF中，BC=BF=

m

2

，所以CF=

2

2

m，BH=

2

4

m．
在直角三角形OAB中，AB=

2

m，
∴AH=

2

m-

2

4

m=

3  2

4

m
∴AH=

3

2

CF．

（3）EB-BD的值不變，等于

4

3

．
m=2，直線AB解析式：y=-x+2．F（2，1），直線OF的解析式為y=

1

2

x，
解方程組

y=-x+2 y=  1 2 x

得

x=  4 3 y=  2 3

所以M（

4

3

，

2

3

）．
過M點作MN⊥x軸于N點，MH⊥DF于H點．如圖，
∵∠ABO=45°，
∴四邊形MNBH是正方形．
∴MN=BH=MH．
又∵EM⊥MD，
∴∠MEN=∠MDH．
∴直角△MEN≌直角△MDH．
∴EN=DH．
∴EB-BD=EN+BN-BD=DH+BH-BD=2BH=

4

3

．

點評：會求直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；學(xué)會構(gòu)建三角形全等，掌握全等三角形的性質(zhì)；合理使用勾股定理進行計算．