Question

已知△ABC中，BC＞AC，CH是AB邊上的高，且滿足

AC2

BC2

=

AH

BH

，試探討∠A與∠B的關系，井加以證明．

Answer 1

分析：由題設條件易想到直角三角形中的基本圖形、基本結論，可猜想出∠A與∠B的關系，解題的關鍵是綜合運用勾股定理、比例線段的性質，推導判定兩個三角形相似的條件．

解答：解：（1）若垂線H在線段AB上，如圖，

由AH²+CH²=AC²，BH²+CH²=BC²，得，
BH²-AH²=BC²-AC²，
即（BH+AH）（BH-AH）=BC²-AC²
AB=

BC2-AC2

BH-AH

，由

AC2

BC2

=

AH

BH

，得

BC2-AC2

BC2

=

BH-AH

BH

，
即

BC2-AC2

BH-AH

=

BC2

BH

，所以AB=

BC2

BH

即

AB

BC

=

BC

BH

，
又∠B是△ABC和△CBH的公共角，所以△ABC∽△CHB，
∠ACB=∠CHB=90°，∠A+∠B=90°．

（2）若垂足H在BA的延長線，如圖作邊CA關于CH的對稱線段CA^′，
由（1）的結論知：∠A^′+∠B=90°，而∠A^′=180°-∠A，
代入上式得∠A-∠B=90°．
綜上所述（1）（2），知∠A+∠B=90°或∠A-∠B=90°．

點評：本題考查相似三角形的判定和性質以及三角形的內角和定理，勾股定理等．