(2005•鹽城)已知:如圖所示,直線l的解析式為y=x-3,并且與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)一個圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓,以0.4個單位/每秒的速度向x軸正方向運(yùn)動,問什么時刻該圓與直線l相切;
(3)在題(2)中,若在圓開始運(yùn)動的同時,一動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向以0.5個單位/秒的速度運(yùn)動,問在整個運(yùn)動的過程中,點(diǎn)P在動圓的園面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動了多長時間?

【答案】分析:(1)因?yàn)橹本l的解析式為y=x-3,并且與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,所以分別令y=0;x=0,即可求出A、B的坐標(biāo);
(2)可設(shè)動圓的圓心在C處時與直線l相切,設(shè)切點(diǎn)為D,連接CD,則CD⊥AD,CD=1,由∠CAD=∠BAO,∠CDA=∠BOA=90°,可知Rt△ACD∽Rt△ABO,利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于相似比,可得,求出AC的值,即可得到此時OC的值,利用OC的長度結(jié)合速度即可求出時間;根據(jù)對稱性,圓C還可能在直線l的右側(cè),與直線l相切,
此時OC=,;
(3)可設(shè)在t秒時,動圓的圓心在F點(diǎn)處,動點(diǎn)在P處,此時OF=0.4t,BP=0.5t,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.4t,0),連接PF.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131019105953503156280/SYS201310191059535031562027_DA/5.png">,又,所以可得到,進(jìn)而可得到FP∥OB,PF⊥OA,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.4t,又結(jié)合P點(diǎn)在直線AB上,可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.3t-3,因此可見:當(dāng)PF=1時,P點(diǎn)在動圓上,當(dāng)0≤PF<1時,P點(diǎn)在動圓內(nèi),而當(dāng)P=1時,由對稱性可知,有兩種情況:①當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時,PF=-(0.3t-3)=1,解之可得t的值,②當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時,PF=0.3t-3=1,解之得t的另一個值,進(jìn)而可得到當(dāng)時,0≤PF≤1,并且此時點(diǎn)P在動圓的圓面上,所經(jīng)過的時間為
解答:解:(1)在y=x-3中,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,故得A、B兩的坐標(biāo)為
A(4,0),B(0,-3).                                               (2分)

(2)若動圓的圓心在C處時與直線l相切,設(shè)切點(diǎn)為D,如圖所示.
連接CD,則CD⊥AD.                                                    (3分)
由∠CAD=∠BAO,∠CDA=∠BOA=90°,可知Rt△ACD∽Rt△ABO,
,則AC=.                                 (4分)
此時OC=(秒).                       (5分)
根據(jù)對稱性,圓C還可能在直線l的右側(cè),與直線l相切,
此時OC=.                                                  (7分)
(秒).
答:(略).                                                           (8分)

(3)設(shè)在t秒,動圓的圓心在F點(diǎn)處,動點(diǎn)在P處,此時OF=0.4t,BP=0.5t,F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.4t,0),連接PF,
,又,

∴FP∥OB,∴PF⊥OA(9分)
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.4t,
又∵P點(diǎn)在直線AB上,
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.3t-3,
可見:當(dāng)PF=1時,P點(diǎn)在動圓上,當(dāng)0≤PF<1時,P點(diǎn)在動圓內(nèi).               (10分)
當(dāng)PF=1時,由對稱性可知,有兩種情況:
①當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時,PF=-(0.3t-3)=1,解之得:;
②當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時,PF=0.3t-3=1,解之得:.                      (11分)
∴當(dāng)時時,0≤PF≤1,此時點(diǎn)P在動圓的圓面上,所經(jīng)過的時間為,
答:動點(diǎn)在動圓的圓面上共經(jīng)過了秒.                                  (12分)
點(diǎn)評:本題是一道綜合性強(qiáng)的題目,解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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(3)在題(2)中,若在圓開始運(yùn)動的同時,一動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向以0.5個單位/秒的速度運(yùn)動,問在整個運(yùn)動的過程中,點(diǎn)P在動圓的園面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動了多長時間?

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