Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對(duì)稱軸是x=1，下列結(jié)論：
①b²-4ac＞0；②3b＜2c；③（a+c）²＞b²；④a＞；⑤4a+2b+c＞0．
其中正確的結(jié)論有    （填上正確結(jié)論的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：由函數(shù)的圖象得出拋物線開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上，且對(duì)稱軸為x=1，且x=1或x=2時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0，x=1或x=3時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于0，進(jìn)而確定出b²-4ac大于0，選項(xiàng)①正確；a大于0，a與b異號(hào)，c小于0，根據(jù)對(duì)稱軸公式得出a與b的關(guān)系式2a+b=0，由c＜0，在不等式左右兩邊同時(shí)加上-b，將右邊的-b化為2a，變形后得到不等式，可得出④正確；由拋物線圖象及對(duì)稱性得到x=3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y大于0，將x=3代入拋物線解析式后，將表示出的a代入，可得出3b小于2c，選項(xiàng)②正確；將x=1代入拋物線解析式得到a+b+c小于0，再將x=-1代入拋物線解析式得到a-b+c大于0，兩個(gè)不等式相乘，根據(jù)兩數(shù)相乘異號(hào)得負(fù)的取符號(hào)法則及平方差公式變形后，得到（a+c）²小于b²，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；由x=2時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0，將x=2代入拋物線解析式中得到4a+2b+c小于0，選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤，即可確定出正確選項(xiàng)的序號(hào)．
解答：解：由函數(shù)圖象可得：拋物線開口向上，與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a＞0，c＜0，b²-4ac＞0，選項(xiàng)①正確；
又拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=1，
∴2a+b=0，即b=-2a，
∴b＜0，
∵x=3時(shí)，y=9a+3b+c＞0，且a=-b，
∴-b+3b+c＞0，即c＞b，
∴3b＜2c，選項(xiàng)②正確；
∵x=1時(shí)，y=a+b+c＜0，x=-1時(shí)，y=a-b+c＞0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，
即[（a+c）+b][（a+c）-b]=（a+c）²-b²＜0，
∴（a+c）²＜b²，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
∵c＜0，
∴-b+c＜-b，又b=-2a，
∴-b+c＜2a，即a＞，選項(xiàng)④正確；
∵x=2時(shí)，y=4a+2b+c＜0，選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤，
則正確的序號(hào)有：①②④．
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，其中a的符號(hào)由拋物線的開口方向決定；當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，a與b同號(hào)；當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)，a與b異號(hào)；c的符號(hào)有拋物線與y軸的交點(diǎn)位置決定；根的判別式的符號(hào)有拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來決定；此外還要找出圖象上的特殊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)來進(jìn)行判斷．