Question

【題目】已知拋物線與軸的兩個交點是點，（在的左側），與軸的交點是點．

（1）求證：，兩點中必有一個點坐標是；

（2）若拋物線的對稱軸是，求其解析式；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點，使？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）將拋物線表達式變形為，求出與x軸交點坐標即可證明；

（2）根據(jù)拋物線對稱軸的公式，將代入即可求得a值，從而得到解析式；

（3）分點P在AC上方和下方兩種情況，結合∠ACO=45°得出直線PC與x軸所夾銳角度數(shù)，從而求出直線PC解析式，繼而聯(lián)立方程組，解之可得答案．

解：（1）=，

令y=0，則，，

則拋物線與x軸的交點中有一個為（-2，0）；

（2）拋物線的對稱軸是：=，

解得：，代入解析式，

拋物線的解析式為：；

（3）存在這樣的點，

，

，

如圖1，當點在直線上方時，記直線與軸的交點為，

，

，，

則，

，

則，，

求得直線解析式為，

聯(lián)立，

解得或，

，；

如圖2，當點在直線下方時，記直線與軸的交點為，

，，

，

則，

，，

求得直線解析式為，

聯(lián)立，

解得：或，

，，

綜上，點的坐標為，或，．