Question

如圖，在△ABC中，點D是BC上一點，∠B=∠DAC=45°．
（1）如圖1，當∠C=45°時，請寫出圖中一對相等的線段；______．
（2）如圖2，若BD=2，BA=，求AD的長及△ACD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠C=45°，∠B=∠DAC=45°，易得△ABD，△ACD，△ABC是等腰直角三角形，繼而求得答案；
（2）首先過點A作AE⊥BC于E，由直角三角形的性質(zhì)，可求得AD的長，又由△ADC∽△BAC，即可利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得△ACD的面積．
解答：解：（1）∵∠C=45°，∠B=∠DAC=45°，
∴∠BAC=∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠CAD=∠B=∠C=45°，
∴AB=AC或AD=BD=CD；
故答案為：AB=AC或AD=BD=CD；

（2）過點A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，BA=，
∴AE=BE==，
∵BD=2，
∴DE=2-，
在Rt△ADE中，AD====-1；
∵∠B=∠DAC=45°，∠C是公共角，
∴△ADC∽△BAC，
∴，
∵S_△ABD=BD•AE=×2×，
設S_△ADC=x，
則=（）²，
∴S_△ACD=．
∴AD=-1；S_△ACD=．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．