Question

如果關于x的方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的兩個實數(shù)根的和等于這兩個根的倒數(shù)和．
求；（1）k的值；
（2）方程的兩個實數(shù)根的平方和．

Answer 1

【答案】分析：（1）設方程的兩根分別為x₁，x₂，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，根據(jù)題意有x₁+x₂=+，則2k-3=0或k²-3-1=0，解得k₁=，k₂=2，k₃=-2，而△≥0，即（2k-3）²-4（k²-3）≥0，解得k≤；最后得到滿足條件的k值；
（2）先變形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（2k-3）²-2（k²-3），然后把（1）中k的值分別代入計算即可．
解答：解：（1）設方程的兩根分別為x₁，x₂，
x₁+x₂=-（2k-3），x₁•x₂=k²-3，
∵方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的兩個實數(shù)根，
∴△≥0，即（2k-3）²-4（k²-3）≥0，
解得k≤；
而x₁+x₂=+，
∴（x₁+x₂）（x₁•x₂-1）=0，
∴2k-3=0或k²-3-1=0，
解得k₁=，k₂=2，k₃=-2，
而k≤；
∴k₁=，k₂=-2；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
=（2k-3）²-2（k²-3）
=2k²-12k+15
當k=，原式=；
當k=-2，原式=47．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根與系數(shù)的關系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了代數(shù)式的變形．