【答案】
分析:(1)通過連接CD,在AP上取一點E使AE=CP,利用等腰三角形的性質(zhì)證明三角形全等可以得出∠1=∠3,DE=DP,可以得到△EDP是等腰直角三角形.從而得出結(jié)論.
(2)連接CD,延長PA到G,使AG=PC,連接DG,由等腰直角三角形的性質(zhì)可以得到∠ADC=90°,從而可以得到A、P、C、D
四點在以AC為直徑的圓上,由∠1=∠2=45°,∠3=∠4,通過證明△PCD≌△GAD,得出∠1=∠G,PD=GD,從而證明△PGD為等腰直角三角形.從而得出答案.PA+PC=
PD
(3)由(2)的結(jié)論可以得出AP+PC=7,通過證明△PAD∽△PEC,利用PC:EC=3:5求出AD,從而求出AC,再利用△PEC∽△AED求出PC,就可以求出PA,得出PA=PD得出△PAB是直角三角形,利用勾股定理就可以求出PB.
解答:解:(1)證明:連接CD,在AP上取一點E使AE=CP,
∵點D為AB的中點,∠ACB=90°,
∴AD=CD,∠CAD=∠ACD=45°,∠ADC=90°,
∴∠CAP+∠ACD+∠DCP=90°,∠CAP+∠ACD+∠PAD=90°,
∴∠CAP+∠ACD+∠DCP=∠CAP+∠ACD+∠PAD,
∴∠DCP=∠PAD,PC=AE,CD=AD,
∴△CPD≌△AED,
∴DE=DP,∠1=∠3.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∴△EDP為等腰直角三角形,由勾股定理,得
PE=
PD.
∵AE+EP=AP,
∴PC+
PD=AP.
(2)線段PD、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系是:PA+PC=
PD
證明:連接CD,延長PA到G,使AG=PC,連接DG
∵∠APC=∠ADC=90°,
∴A、D、C、P四點在以AC為直徑的圓上.
∵AD=CD,
∴∠1=∠2=45°,
∴∠1=∠2=∠CAD=∠ACD=45°.
∵∠5=∠1+∠4,∠PCD=∠3+∠ACD,∠3=∠4,
∴∠5=∠PCD,PC=AG,AD=CD,
∴△GAD≌△PCD,
∴GD=PD,
∴∠1=∠G=45°,
∴∠PDG=90°,由勾股定理,得
PG=
PD
∵PG=PA+AG,
∴PG=PA+PC,
∴PA+PC=
PD.
(3)∵PD=
∴PA+PC=7.
∵PC:EC=7:5,則設(shè)PC=7m,EC=5m,
∴PA=7-7m.
∵△PAD∽△PEC,
∴
,
∴
,
解得AD=
,在Rt△ADC中,由勾股定理,得
AC=5,
∴在Rt△CAP中,由勾股定理,得
(7m)
2+(7-7m)
2=25,
解得,m
1=
,m
2=
.
∵AP<PC,
∴m=
,
∴PC=4,PA=3.
作PH⊥AD于點H,有△PHD∽△APC
∴
,
∴
解得:PH=
.
在Rt△PHD中,由勾股定理,得
(
)
2+HD
2=(
)
2,
解得:HD=
,HB=
,
在Rt△PHB中由勾股定理,得
PB
2=PH
2+HB
2,
∴
,
解得:PB=
.
點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的運用.