Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑AB=6，點(diǎn)P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m，當(dāng)直線PQ交y軸于Q，交⊙O于C、D兩點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于x軸交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG垂直于y軸，垂足為G，過(guò)點(diǎn)C作CF垂直于y軸，垂足為F，連接DE．
（1）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CPB=

 

°；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，試求矩形CEGF的面積；
（3）當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，探索PD²+PC²的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請(qǐng)你說(shuō)明理由；如果不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出這個(gè)不變的值；
（4）如果點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△PDE的面積為3時(shí)，請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）利用圖象與x，y軸交點(diǎn)坐標(biāo)得出QO=PO，從而得出∠CPB的度數(shù)即可；
（2）利用勾股定理求出CE，OH的長(zhǎng)度，求出矩形CEGF的面積即可；
（3）根據(jù)PC²+PD²=（CM+PM）²+（DM-PM）²，得出即可；
（4）分別從當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)得出CD與CM的長(zhǎng)度關(guān)系，進(jìn)而求出即可．

解答：解：（1）∵過(guò)點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m，
∴圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的為：（-m，0），圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的為：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
故答案為：45°；

（2）作OM⊥CD于M點(diǎn)，則CM=MD，
∵∠CPB=45°，CE⊥AB，
∴∠OQP=∠HCP=45°，PH=CH，
由題意得：QO=2，
∴OP=OQ=2，
∴PM=MQ=OM=

2

，
連接OC，則CM=

OC2-OM2

=

7

，
∴PC=

2

+

7

，
PH=CH=

2

2

PC=

14 +2

2

，
∴CE=2CH=

14

+2，
OH=PH-OP=

14 +2

2

-2=

14 -2

2

，
∴S_矩形CEGH=CE×OH=（

14

+2）×

14 -2

2

=5；

（3）不變，
當(dāng)P點(diǎn)在線段OA上時(shí)，由（2）得：
PC²+PD²=（CM+PM）²+（DM-PM）²，
=（CM+OM）²+（CM-OM）²，
=2（CM²+OM²），
=2OC²，
=2×3²，
=18，
當(dāng)P點(diǎn)在線段OB上時(shí)，同理可得：PC²+PD²=18，
當(dāng)P點(diǎn)與點(diǎn)O重合時(shí)，顯然有：PC²+PD²=18；

（4）①當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)如圖所示，由圓的對(duì)稱性可知，
∠CPE=2∠CPB=90°，PE=PC，
∴S_△PDE=

1

2

PD×PE=

1

2

PD×PC=3，
∴PD×PC=6，
即（CM-PM）（CM+PM）=6，
（CM-OM）（CM+OM）=6，
∴CM²-OM²=6，
∴CM²-（3²-CM²）=6，
∴CM²=

15

2

，
∴CD=2CM=

30

；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，同理有：PD×PC=6，
即：（PM+DM）（PM-CM）=6，
（OM+CM）（OM-CM）=6，
∴OM²-CM²=6，
∴（3²-CM²）-CM²=6，
∴CM²=

3

2

，
∴CD=2CM=

6

，
綜上所述：CD為

30

或

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的面積以及平方差公式應(yīng)用以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（4）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．