如圖,在直角坐標(biāo)系中,⊙O的圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn),直徑AB=6,點(diǎn)P是直徑AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m,當(dāng)直線PQ交y軸于Q,交⊙O于C、D兩點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于x軸交⊙O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作精英家教網(wǎng)EG垂直于y軸,垂足為G,過(guò)點(diǎn)C作CF垂直于y軸,垂足為F,連接DE.
(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠CPB=
 
°;
(2)當(dāng)m=2時(shí),試求矩形CEGF的面積;
(3)當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,探索PD2+PC2的值是否會(huì)發(fā)生變化?如果發(fā)生變化,請(qǐng)你說(shuō)明理由;如果不發(fā)生變化,請(qǐng)你求出這個(gè)不變的值;
(4)如果點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△PDE的面積為3時(shí),請(qǐng)你求出CD的長(zhǎng)度.
分析:(1)利用圖象與x,y軸交點(diǎn)坐標(biāo)得出QO=PO,從而得出∠CPB的度數(shù)即可;
(2)利用勾股定理求出CE,OH的長(zhǎng)度,求出矩形CEGF的面積即可;
(3)根據(jù)PC2+PD2=(CM+PM)2+(DM-PM)2,得出即可;
(4)分別從當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí),以及當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)得出CD與CM的長(zhǎng)度關(guān)系,進(jìn)而求出即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵過(guò)點(diǎn)P的直線PQ的解析式為y=x+m,
∴圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的為:(-m,0),圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)的為:(0,m),
∴QO=PO,∠POQ=90°,
∴∠CPB=45°,
故答案為:45°;

(2)作OM⊥CD于M點(diǎn),則CM=MD,
∵∠CPB=45°,CE⊥AB,
∴∠OQP=∠HCP=45°,PH=CH,
由題意得:QO=2,
∴OP=OQ=2,
∴PM=MQ=OM=
2
,
連接OC,則CM=
OC2-OM2
=
7

∴PC=
2
+
7
,
PH=CH=
2
2
PC=
14
+2
2

∴CE=2CH=
14
+2,
OH=PH-OP=
14
+2
2
-2=
14
-2
2
,
∴S矩形CEGH=CE×OH=(
14
+2)×
14
-2
2
=5;

(3)不變,
當(dāng)P點(diǎn)在線段OA上時(shí),由(2)得:
PC2+PD2=(CM+PM)2+(DM-PM)2,
=(CM+OM)2+(CM-OM)2
=2(CM2+OM2),
=2OC2
=2×32,
=18,
當(dāng)P點(diǎn)在線段OB上時(shí),同理可得:PC2+PD2=18,
當(dāng)P點(diǎn)與點(diǎn)O重合時(shí),顯然有:PC2+PD2=18;

(4)①當(dāng)點(diǎn)P在直徑AB上時(shí)如圖所示,由圓的對(duì)稱性可知,
∠CPE=2∠CPB=90°,PE=PC,
∴S△PDE=
1
2
PD×PE=
1
2
PD×PC=3,
∴PD×PC=6,
即(CM-PM)(CM+PM)=6,
(CM-OM)(CM+OM)=6,
∴CM2-OM2=6,
∴CM2-(32-CM2)=6,精英家教網(wǎng)
∴CM2=
15
2
,
∴CD=2CM=
30
;
②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,同理有:PD×PC=6,
即:(PM+DM)(PM-CM)=6,
(OM+CM)(OM-CM)=6,
∴OM2-CM2=6,
∴(32-CM2)-CM2=6,
∴CM2=
3
2
,
∴CD=2CM=
6
,
綜上所述:CD為
30
6
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了三角形的面積以及平方差公式應(yīng)用以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用,要注意的是(4)中,要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

18、如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-3,0),B(0,4),對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形①、②、③、④…,則三角形⑦的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(24,0)

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精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),將OP繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段OP′.
(1)在圖中畫出線段OP′;
(2)求P′的坐標(biāo)和
PP′
的長(zhǎng)度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△ABC的面積為9,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
(3)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點(diǎn)D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點(diǎn)E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6,0),B(-4,6),C(0,2).畫出△ABC的兩個(gè)位似圖形△A1B1C1,△A2B2C2,同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
(1)以原點(diǎn)O為位似中心;
(2)△A1B1C1,△A2B2C2與△ABC的面積比都是1:4.(作出圖形,保留痕跡,標(biāo)上相應(yīng)字母)

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如圖,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-4,0),B(0,3),對(duì)△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換,依次得到三角形(1),三角形(2),三角形(3),三角形(4),…,

(1)△AOB的面積是
6
6
;
(2)三角形(2013)的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)是
(8052,0)
(8052,0)

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