Question

在△BDF中，BD=BF，以BD為直徑的⊙O與邊DF相交于點E，過E作BF的垂線，垂足為C，交BD延長線于點A．
（1）求證：AC與⊙O相切．
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

證明（1）連接OE，BE，
∵以BD為直徑的⊙O與邊DF相交于點E，
∴∠BED是直角，
即BE⊥DF，
∵BD=BF，
∴FE=DE，
∴BO=DO，
∴OE是三角形的中位線，
∴OE∥BC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
即OE⊥AC，
∴AC與⊙O相切；

（2）∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
設半徑OE=r，
∴
∴r₁=4，r₂=-3，（舍）
答：⊙O的半徑是4．
分析：（1）連接OE，BE，由圓周角定理可知∠BED是直角，即BE⊥DF，再有等腰三角形的性質(zhì)可知E為DF的中點，進而得到OE是三角形的中位線，所以OE∥BC，所以∠OEA=90°
即AC與⊙O相切．
（2）設半徑OE為r，由（1）可知OE∥BC，所以△AOE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到，代入數(shù)據(jù)計算即可
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、圓的切線的判定定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性不小，是中考中常見的題型．