Question

在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形ABCD饒A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)）（圖1）
（1）寫出C﹑F兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到等腰梯形OEFG的內(nèi)部時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；
（3）線段DC上是否存在點(diǎn)P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求這兩點(diǎn)的坐標(biāo)其實(shí)求出其中一個(gè)也就知道另外一個(gè)的坐標(biāo)了，我們求C的坐標(biāo)即可．如果過點(diǎn)C向x軸引垂線，那么組成的以BC為斜邊的小直角三角形中，兩直角邊的長就都應(yīng)該是2（可根據(jù)BC=2，∠A=∠C=45°，用正弦或余弦函數(shù)就能求出），那么C點(diǎn)的坐標(biāo)就應(yīng)該是（4，2）．而F點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值，F(xiàn)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值等于C點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值，因此F的坐標(biāo)應(yīng)是（-2，4）．
（2）在（1）中，我們得出了點(diǎn)C的坐標(biāo)，那么用同樣的方法可得出D點(diǎn)的坐標(biāo)（2，2），當(dāng)梯形向左平移x單位后，設(shè)DC與y軸交于H，那么DH=x-2．這樣我們可以根據(jù)重合部分的面積=梯形DHOA的面積-三角形AQO的面積（設(shè)AD、OG交于Q），那么關(guān)鍵是求出三角形AQO的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠GQD=90°，即三角形AQO是個(gè)直角三角形，又因?yàn)椤螦QO=45°，OA=x，那么很明顯三角形AQO的兩直角邊就應(yīng)該是x，那么三角形AQO的面積=×（x）²=x²．在上面我們求出了DH的長，那么梯形AOHD的面積=×（x-2+x）×2=2x-2．因此重合部分的面積=梯形ADHO的面積-三角形AQM的面積=-x²+2x-2．也就求出了x、y的函數(shù)關(guān)系式．
（3）要分三種情況進(jìn)行討論：
①以E為頂點(diǎn)，EF、EP為腰的等腰三角形，
②以F為頂點(diǎn)，EF、FP為腰的等腰三角形．
③以P為頂點(diǎn)，F(xiàn)P、EP為腰的等腰三角形．
我們根據(jù)（1）的結(jié)果不難得出E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，4）．根據(jù)P在DC線上那么，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（m，2）．那么可用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式，分別按三種情況進(jìn)行計(jì)算，得出符合條件的m的值．
解答：解：（1）C的坐標(biāo)是（4，2），F(xiàn)的坐標(biāo)是（-2，4）

（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，
圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2．
因此D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2）．
圖（2），當(dāng)OA=x時(shí)，設(shè)DC交y軸于H，AD交GO于Q，那么DH=x-2．
所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x-2．
△AQO中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角度為90度．可得：
∠AQO=90°，
又因?yàn)椤螿AM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面積y=S_梯形AODH-S_△AQO=2x-2-x²
即：y=-x²+2x-2（2＜x＜4）

（3）由于P點(diǎn)在DC線上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2）．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖（1）中，B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知：E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，6），F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，4）．
①當(dāng)以E為頂點(diǎn)，EF、EP為腰時(shí)，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2-6）²，
即m²+16=8，此方程無解，
因此不存在這種情況．
②當(dāng)以F為頂點(diǎn)，EF、FP為腰時(shí)，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2-4）²，即m（m+4）=0，m=-4，m=0．
當(dāng)m=-4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，2）．PE==4=2EF，
因此P、E、F在一條直線上構(gòu)不成三角形，
因此此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是（0，2）．
③當(dāng)以P為頂點(diǎn)，F(xiàn)P、EP為腰，EP=PF，
因此m²+（2-6）²=（m+2）²+（2-4）²，即m=2．
那么此時(shí)P的坐標(biāo)為（2，2）．
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)且坐標(biāo)為（2，2）或（0，2）．
點(diǎn)評：本題結(jié)合梯形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，本題中根據(jù)梯形的性質(zhì)得出梯形旋轉(zhuǎn)前后各頂點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．