Question

2．已知二次函數(shù)的圖象與直線y=x+m交于x軸上一點A（-1，0），二次函數(shù)圖象的頂點為C（1，-4）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若二次函數(shù)的圖象與x軸交于另一點B，與直線y=x+m交于另一點D，求
△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-4，把A（-1，0）代入求得a即可；
（2）令y=x²-2x-3=0，解方程可求得B點坐標(biāo)，即可求得AB，把A（-1，0）代入y=x+m求得y=x+1，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$求得D點坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-1）²-4，
把A（-1，0）代入上式得：0=a（x-1）²-4，
解得：a=1，
∴這個二次函數(shù)的解析式為：y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）令y=x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
把A（-1，0）代入y=x+m得：-1+m=0，
解得：m=1，
∴y=x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$，
∴D（4，5），
∴AB=4，
∴△ABD的面積=$\frac{1}{2}$×4×5=10．

點評 本題主要考查了用頂點式求二次函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸，直線的交點問題，三角形面積公式，熟知拋物線與坐標(biāo)軸，直線的交點的求法是解題的關(guān)鍵．