Question

已知：如圖，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC．
其中結論正確的個數(shù)有（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得出△ABD≌△AEC，由全等三角形的對應邊相等得到BD=CE；
②由△ABD≌△AEC得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質及等量代換得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性質得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關系式，等量代換即可作出判斷．

解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，

AB=AC  ∠BAD=∠CAE  AD=AE

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本選項正確；

②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
則BD⊥CE，本選項正確；

③∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本選項正確；

④∵∠ABD=∠ACE，
∴只有當∠ABD=∠DBC時，∠ACE=∠DBC才成立．
綜上所述，正確的結論有3個．
故選：C．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．