Question

（附加題）工人師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長(zhǎng)60cm的正方形板材；另一塊是上底為30cm，下底為120cm，高為60cm的直角梯形板材（如下圖①）．工人師傅想將這兩塊板材裁成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板材疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板材的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域（如圖②）．由于受材料紋理限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）利用圖②，求FC的長(zhǎng)；
（2）如圖③，若矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在線(xiàn)段EF上，P點(diǎn)到BG的距離為PN，試證明：

PN

NG

=

2

3

；
（3）利用圖③，求頂點(diǎn)B所對(duì)的頂點(diǎn)P到BC的距離PN為多少時(shí)，矩形PMBN的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）先求出ED、CG的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出DF與FC的比，再根據(jù)CD=60cm即可求解；
（2）先求出CG的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

PN

NG

=

FC

CG

，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得證；
（3）設(shè)BN為x，則NG=120-x，根據(jù)（2）的結(jié)論表示出PN的長(zhǎng)度，然后利用矩形的面積公式列式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．

解答：（1）解：根據(jù)題意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，
∵正方形的對(duì)邊平行，
∴AD∥BG，
∴

DF

FC

=

ED

CG

，
即

DF

FC

=

30

60

=

1

2

，
又∵CD=60cm，
∴FC=

2

1+2

×60=40cm；

（2）證明：∵P點(diǎn)到BG的距離為PN，
∴PN⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴△GCF∽△GPN，
∴

PN

NG

=

FC

CG

，
即

PN

NG

=

40

60

=

2

3

；

（3）解：設(shè)BN為x，則NG=120-x，
根據(jù)（2）可得，PN=

2

3

NG=

2

3

（120-x），
∴矩形PMBN的面積=BN•PN=x•

2

3

（120-x）=-

2

3

（x²-120x）=-

2

3

（x-60）²+2400，
∴當(dāng)x=60時(shí)，矩形PMBN的面積最大，
此時(shí)PN=

2

3

（120-x）=

2

3

（120-60）=40cm，
最大面積值是2400cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形，正方形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，但難度不是很大．