Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，O為原點，點A的坐標(biāo)為（1，0），點C的坐標(biāo)為（0，4），直線CM∥x軸（如圖所示）．點B與點A關(guān)于原點對稱，直線y=x+b（b為常數(shù)）經(jīng)過點B，且與直線CM相交于點D，連接OD．
（1）求b的值和點D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點P在x軸的正半軸上，若△POD是等腰三角形，求點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如果以PD為半徑的圓P與圓O外切，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：（1）先求出點B的坐標(biāo)，由直線過點B，把點B的坐標(biāo)代入解析式，可求得b的值；點D在直線CM上，其縱坐標(biāo)為4，利用求得的解析式確定該點的橫坐標(biāo)即可；
（2）△POD為等腰三角形，有三種情況：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情況討論，要求點P的坐標(biāo)，只要求出點P到原點O的距離即可；
（3）結(jié)合（2），可知⊙O的半徑也需根據(jù)點P的不同位置進行分類討論．

解答：解：（1）∵B與A（1，0）關(guān)于原點對稱
∴B（-1，0）
∵y=x+b過點B
∴-1+b=0，b=1
∴y=x+1
當(dāng)y=4時，x+1=4，x=3
∴D（3，4）；

（2）作DE⊥x軸于點E，則OE=3，DE=4，
∴OD=

OE2+DE2

=

32+42

=5．
若△POD為等腰三角形，則有以下三種情況：
①以O(shè)為圓心，OD為半徑作弧交x軸的正半軸于點P₁，則OP₁=OD=5，
∴P₁（5，0）．
②以D為圓心，DO為半徑作弧交x軸的正半軸于點P₂，則DP₂=DO=5，
∵DE⊥OP₂
∴P₂E=OE=3，
∴OP₂=6，
∴P₂（6，0）．
③取OD的中點N，過N作OD的垂線交x軸的正半軸于點P₃，則OP₃=DP₃，
易知△ONP₃∽△DCO．
∴

OP3

OD

=

ON

DC

．
∴

OP3

5

=

5 2

3

，OP₃=

25

6

．
∴P₃（

25

6

，0）．
綜上所述，符合條件的點P有三個，分別是P₁（5，0），P₂（6，0），P₃（

25

6

，0）．

（3）①當(dāng)P₁（5，0）時，P₁E=OP₁-OE=5-3=2，OP₁=5，
∴P₁D=

P1E2+DE2

=

22+42

=2

5

．
∴⊙P的半徑為2

5

．
∵⊙O與⊙P外切，
∴⊙O的半徑為5-2

5

．
②當(dāng)P₂（6，0）時，P₂D=DO=5，OP₂=6，
∴⊙P的半徑為5．
∵⊙O與⊙P外切，
∴⊙O的半徑為1．
③當(dāng)P₃（

25

6

，0）時，P₃D=OP₃=

25

6

，
∴⊙P的半徑為

25

6

．
∵⊙O與⊙P外切，
∴⊙O的半徑為0，即此圓不存在．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意到分情況討論是解決本題的關(guān)鍵．